Circonferenze e cerchi

Theory used: Circonferenza e cerchio Il numero π e la lunghezza della circonferenza Area del cerchio

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Esercizio 1

Calcola la lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio di raggio $6$ cm. Scrivi i risultati con $\pi$ e poi con il valore approssimato $\pi \approx 3{,}14$ .

C = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi\ \text{cm}

C \approx 12 \cdot 3{,}14 = 37{,}68\ \text{cm}

A = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi\ \text{cm}^2

A \approx 36 \cdot 3{,}14 = 113{,}04\ \text{cm}^2

La lunghezza della circonferenza è $2\pi r$ , cioè $\pi$ volte il diametro. Il diametro è $2 \cdot 6 = 12$ cm, quindi $C = 12\pi$ cm. Con il valore approssimato di $\pi$ si calcola $12 \cdot 3{,}14$ . Poiché $12 \cdot 3 = 36$ e $12 \cdot 0{,}14 = 1{,}68$ , si ottiene $C \approx 37{,}68$ cm.

L’area del cerchio è $\pi$ per il quadrato del raggio. Il quadrato del raggio è $6 \cdot 6 = 36$ , quindi $A = 36\pi\ \text{cm}^2$ . Poiché $36 \cdot 3 = 108$ e $36 \cdot 0{,}14 = 5{,}04$ , l’area è circa $113{,}04\ \text{cm}^2$ .

Esercizio 2

Un cerchio ha diametro $18$ cm. Calcola la sua area, con $\pi$ e con $\pi \approx 3{,}14$ .

r = \frac{d}{2} = \frac{18}{2} = 9\ \text{cm}

A = \pi \cdot 9^2 = 81\pi\ \text{cm}^2

A \approx 81 \cdot 3{,}14 = 254{,}34\ \text{cm}^2

La formula dell’area usa il raggio, e il raggio è metà del diametro, quindi $r = 9$ cm. Il quadrato del raggio è $9 \cdot 9 = 81$ , perciò l’area è $81\pi\ \text{cm}^2$ .

Per il valore approssimato si calcola $81 \cdot 3{,}14$ . Poiché $81 \cdot 3 = 243$ e $81 \cdot 0{,}14 = 11{,}34$ , la somma è $243 + 11{,}34 = 254{,}34$ . L’area è circa $254{,}34\ \text{cm}^2$ .

Esercizio 3

Un cerchio ha area $49\pi\ \text{cm}^2$ . Calcola il raggio e la lunghezza della circonferenza, con $\pi$ e con $\pi \approx 3{,}14$ .

\pi \cdot r^2 = 49\pi

r^2 = 49

r = \sqrt{49} = 7\ \text{cm}

C = 2 \cdot \pi \cdot 7 = 14\pi \approx 14 \cdot 3{,}14 = 43{,}96\ \text{cm}

L’area del cerchio è $\pi r^2$ , quindi $\pi \cdot r^2 = 49\pi$ . Dividendo entrambi i membri per $\pi$ si ottiene $r^2 = 49$ . Il raggio è una lunghezza, quindi è positivo, e il numero positivo il cui quadrato è $49$ è $7$ . Il raggio misura perciò $7$ cm.

La circonferenza è $2\pi r = 2 \cdot 7 \cdot \pi = 14\pi$ cm. Poiché $14 \cdot 3 = 42$ e $14 \cdot 0{,}14 = 1{,}96$ , la lunghezza è circa $43{,}96$ cm.