Problemi con scale e grandezze proporzionali

Theory used: Scala di una carta Grandezze direttamente proporzionali Grandezze inversamente proporzionali Regola del tre

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Esercizio 1

Su una carta in scala $1 : 25\,000$ due rifugi distano $7{,}2$ cm. Calcola la distanza reale in chilometri.

7{,}2 \cdot 25\,000 = 180\,000 \text{ cm}

180\,000 \text{ cm} = 1800 \text{ m} = 1{,}8 \text{ km}

La scala $1 : 25\,000$ significa che ogni centimetro sulla carta corrisponde a $25\,000$ centimetri nella realtà. La distanza reale è quindi $25\,000$ volte quella misurata. Nel prodotto $7{,}2 \cdot 25\,000$ si moltiplica il primo fattore per $10$ e si divide il secondo per $10$ , e il prodotto non cambia. Si ottiene $72 \cdot 2500$ , cioè $72 \cdot 25 = 1800$ moltiplicato per $100$ , quindi $180\,000$ cm.

Poiché $1$ m $= 100$ cm, si divide per $100$ e si ottengono $1800$ m. Poiché $1$ km $= 1000$ m, si divide ancora per $1000$ e si ottiene $1{,}8$ km. I due rifugi distano quindi $1{,}8$ km.

Esercizio 2

Una ricetta per $4$ persone richiede $300$ g di farina e $180$ g di zucchero. Calcola le quantità necessarie per $6$ persone.

4 : 300 = 6 : x \qquad x = \frac{300 \cdot 6}{4} = \frac{1800}{4} = 450 \text{ g}

4 : 180 = 6 : y \qquad y = \frac{180 \cdot 6}{4} = \frac{1080}{4} = 270 \text{ g}

Il numero di persone e la quantità di ogni ingrediente sono grandezze direttamente proporzionali, perché raddoppiando le persone raddoppia anche la quantità. Per la regola del tre i valori stanno nello stesso rapporto, quindi la farina $x$ per $6$ persone soddisfa $4 : 300 = 6 : x$ .

Il termine $x$ è un estremo, perciò è il prodotto dei medi $300 \cdot 6 = 1800$ diviso per l’altro estremo $4$ , cioè $450$ g. Allo stesso modo lo zucchero è $y = \dfrac{1080}{4} = 270$ g.

Lo stesso risultato si ottiene osservando che $6$ persone sono $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$ volte $4$ persone. Infatti $300 \cdot 1{,}5 = 450$ e $180 \cdot 1{,}5 = 270$ . Per $6$ persone servono quindi $450$ g di farina e $270$ g di zucchero.

Esercizio 3

Un’automobile consuma $6$ litri di carburante ogni $100$ km. Calcola quanti litri consuma per percorrere $350$ km e quanti chilometri percorre con $45$ litri.

100 : 6 = 350 : x \qquad x = \frac{6 \cdot 350}{100} = \frac{2100}{100} = 21 \text{ litri}

6 : 100 = 45 : y \qquad y = \frac{100 \cdot 45}{6} = \frac{4500}{6} = 750 \text{ km}

A consumo costante, i chilometri percorsi e i litri consumati sono direttamente proporzionali. Nella prima proporzione $x$ è un estremo, quindi è il prodotto dei medi $6 \cdot 350 = 2100$ diviso per $100$ ; si ottengono $21$ litri.

Nella seconda domanda si conoscono i litri e si cercano i chilometri. I rapporti fra litri e chilometri sono uguali, quindi $6 : 100 = 45 : y$ . Il termine $y$ è un estremo, perciò $y = \dfrac{4500}{6} = 750$ km, perché $6 \cdot 750 = 4500$ . L’automobile consuma $21$ litri per $350$ km e percorre $750$ km con $45$ litri.

Esercizio 4

Lungo una parete servono $24$ piastrelle quadrate di lato $25$ cm, messe una accanto all’altra. Calcola quante piastrelle servono lungo la stessa parete se il lato delle piastrelle è $30$ cm.

24 \cdot 25 = 600 \text{ cm}

30 \cdot y = 600 \qquad y = \frac{600}{30} = 20

y = \dfrac{600}{x}

Il numero

y

di piastrelle in funzione del lato

x

in centimetri, per una parete lunga

600

cm; con

x = 25

servono

24

piastrelle, con

x = 30

ne servono

20

La parete ha sempre la stessa lunghezza. Quindi il lato delle piastrelle e il loro numero sono grandezze inversamente proporzionali, perché con piastrelle più grandi ne servono di meno, e il loro prodotto è la lunghezza della parete.

Con le prime piastrelle la lunghezza è $24 \cdot 25 = 600$ cm. Con le nuove piastrelle il numero $y$ deve soddisfare $30 \cdot y = 600$ , perciò $y = \dfrac{600}{30} = 20$ . Servono $20$ piastrelle, cioè meno di $24$ , perché le nuove piastrelle sono più grandi.