Esercizi svolti · Scheda 2

Serie di Fourier di funzioni pari

Teoria usata: Serie di soli coseni e di soli seni Coefficienti di Fourier Coefficienti di un polinomio trigonometrico

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Esercizio 1

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2 π$ -periodico di $f (x) = ∣ x ∣$ , $x \in [- π, π]$ .

f pari ⟹ b_{n} = 0, a_{0} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x d x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π ^{2}}{2} = π

a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x cos (n x) d x = \frac{2}{π} ([\frac{x sin ( n x )}{n}]_{0}^{π} - \frac{1}{n} \int_{0}^{π} sin (n x) d x) = \frac{2}{π} (0 - \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}) = \frac{2 ( ( - 1 ) ^{n} - 1 )}{π n ^{2}}

∣ x ∣ \sim \frac{π}{2} - k = 0 \sum \infty \frac{4}{π ( 2 k + 1 ) ^{2}} cos ((2 k + 1) x)

Il valore assoluto è una funzione pari, quindi i $b_{n}$ sono nulli e la serie è di soli coseni, con gli $a_{n}$ dati dal doppio dell’integrale su $[0, π]$ , dove $∣ x ∣ = x$ . Il coefficiente $a_{0}$ vale $π$ , perciò il termine costante è $\frac{π}{2}$ , la media di $∣ x ∣$ su un periodo. Per $n \geq 1$ si integra per parti: il termine con $sin (nπ)$ è nullo e resta l’integrale di $sin (n x)$ , che vale $\frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ dopo la divisione per $n$ . Quindi $a_{n}$ è nullo per $n$ pari e vale $- \frac{4}{π n ^{2}}$ per $n$ dispari: nella serie compaiono soltanto i coseni delle armoniche dispari, con segno negativo.

Esercizio 2

Determinare la serie di Fourier di $f (x) = cos^{2} x$ .

cos^{2} x = \frac{1 + cos ( 2 x )}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)

a_{0} = 1, a_{2} = \frac{1}{2}, a_{n} = 0 (n \neq = 0, 2), b_{n} = 0

cos^{2} x \sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)

La formula di duplicazione del coseno riscrive $cos^{2} x$ come $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)$ , che è già un polinomio trigonometrico. Poiché i coefficienti di Fourier di un polinomio trigonometrico coincidono con i suoi coefficienti, non occorre calcolare alcun integrale: la serie di Fourier ha i soli termini $\frac{a _{0}}{2} = \frac{1}{2}$ e $a_{2} cos (2 x) = \frac{1}{2} cos (2 x)$ , e coincide con la funzione in ogni punto. Conviene sempre controllare se la funzione assegnata si riduce a un polinomio trigonometrico con un’identità, prima di impostare gli integrali.

Esercizio 3

Determinare la serie di Fourier di $f (x) = ∣ sin x ∣$ .

f pari, π -periodica, a_{0} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} sin x d x = \frac{2}{π} [- cos x]_{0}^{π} = \frac{4}{π}

a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} sin x cos (n x) d x = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (sin ((1 + n) x) + sin ((1 - n) x)) d x = \frac{1}{π} (\frac{1 - ( - 1 ) ^{1 + n}}{1 + n} + \frac{1 - ( - 1 ) ^{1 - n}}{1 - n}) (n \neq = 1)

n dispari ⟹ a_{n} = 0, n pari ⟹ a_{n} = \frac{2}{π} (\frac{1}{1 + n} + \frac{1}{1 - n}) = - \frac{4}{π ( n ^{2} - 1 )}

a_{1} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} sin x cos x d x = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} sin (2 x) d x = 0

∣ sin x ∣ \sim \frac{2}{π} - k = 1 \sum \infty \frac{4}{π ( 4 k ^{2} - 1 )} cos (2 k x)

La funzione $∣ sin x ∣$ è pari, quindi i $b_{n}$ sono nulli; su $[0, π]$ il seno è non negativo e il valore assoluto si toglie. Il coefficiente $a_{0}$ vale $\frac{4}{π}$ , perciò la media della funzione è $\frac{2}{π}$ . Per gli $a_{n}$ si trasforma il prodotto $sin x cos (n x)$ nella somma di due seni con le formule di Werner, e ciascun seno si integra elementarmente; il caso $n = 1$ va trattato a parte perché il secondo addendo avrebbe denominatore nullo, e il calcolo diretto con $sin x cos x = \frac{sin ( 2 x )}{2}$ dà $a_{1} = 0$ . Poiché $(- 1)^{1 + n} = - (- 1)^{n}$ , per $n$ dispari i numeratori si annullano e per $n$ pari valgono entrambi $2$ ; la somma delle due frazioni dà $a_{n} = - \frac{4}{π ( n ^{2} - 1 )}$ . Nella serie restano le sole armoniche pari, scritte con $n = 2 k$ : il risultato riflette il fatto che $∣ sin x ∣$ ha periodo $π$ , quindi nel suo sviluppo compaiono soltanto i coseni di periodo compatibile.