Esercizi svolti · Scheda 1

Serie di Fourier di onde quadre e funzioni a gradino

Teoria usata: Coefficienti di Fourier Serie di soli coseni e di soli seni Serie di Fourier

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Esercizio 1

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2 π$ -periodico di

f (x) = {- 1 1 se - π \leq x < 0 se 0 \leq x < π

f dispari ⟹ a_{n} = 0, b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} sin (n x) d x

b_{n} = \frac{2}{π} [- \frac{cos ( n x )}{n}]_{0}^{π} = \frac{2}{nπ} (1 - cos (nπ)) = \frac{2 ( 1 - ( - 1 ) ^{n} )}{nπ} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{4}{nπ} 0 se n \overset{e}{ˋ} dispari se n \overset{e}{ˋ} pari

f (x) \sim k = 0 \sum \infty \frac{4}{( 2 k + 1 ) π} sin ((2 k + 1) x)

La funzione vale $- 1$ a sinistra dell’origine e $1$ a destra, quindi è dispari (il valore in $x = 0$ non incide sui coefficienti, che sono integrali). Poiché la funzione è dispari, tutti gli $a_{n}$ sono nulli e la serie è di soli seni, con $b_{n}$ dato dal doppio dell’integrale su $[0, π]$ . Su $[0, π]$ la funzione vale $1$ , perciò resta l’integrale di $sin (n x)$ , che vale $\frac{1 - cos ( nπ )}{n}$ . Dato che $cos (nπ) = (- 1)^{n}$ , il coefficiente è nullo per $n$ pari e vale $\frac{4}{nπ}$ per $n$ dispari; nella serie finale sopravvivono soltanto le armoniche dispari, scritte con l’indice $n = 2 k + 1$ .

Esercizio 2

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2 π$ -periodico di

f (x) = {01 se - π \leq x < 0 se 0 \leq x < π

a_{0} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} 1 d x = 1

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} cos (n x) d x = \frac{1}{π} [\frac{sin ( n x )}{n}]_{0}^{π} = 0 (n \geq 1)

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} sin (n x) d x = \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{nπ}

f (x) \sim \frac{1}{2} + k = 0 \sum \infty \frac{2}{( 2 k + 1 ) π} sin ((2 k + 1) x)

La funzione non è né pari né dispari, quindi si calcolano tutti i coefficienti con gli integrali su $[- π, π]$ ; poiché la funzione è nulla su $[- π, 0)$ , ogni integrale si riduce all’intervallo $[0, π]$ . Il coefficiente $a_{0}$ vale $1$ , quindi il termine costante della serie è $\frac{a _{0}}{2} = \frac{1}{2}$ , che è la media della funzione su un periodo. Gli $a_{n}$ con $n \geq 1$ sono nulli perché $sin (nπ) = sin 0 = 0$ . I $b_{n}$ sono gli stessi dell’esercizio precedente divisi per $2$ , perciò la serie è la costante $\frac{1}{2}$ più metà della serie dell’onda quadra: il risultato è coerente con l’identità $f (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} g (x)$ , dove $g$ è l’onda quadra dell’esercizio 1.

Esercizio 3

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2 π$ -periodico della funzione dispari definita su $[0, π)$ da

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 10 se 0 < x < \frac{π}{2} se \frac{π}{2} \leq x < π

f dispari ⟹ a_{n} = 0, b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π /2} sin (n x) d x

b_{n} = \frac{2}{π} [- \frac{cos ( n x )}{n}]_{0}^{π /2} = \frac{2}{nπ} (1 - cos \frac{nπ}{2})

cos \frac{nπ}{2} = ⎩ ⎨ ⎧ 01 - 1 se n \overset{e}{ˋ} dispari se n = 4, 8, 12, \dots se n = 2, 6, 10, \dots

f (x) \sim n = 1 \sum \infty \frac{2}{nπ} (1 - cos \frac{nπ}{2}) sin (n x) = \frac{2}{π} sin x + \frac{2}{π} sin (2 x) + \frac{2}{3 π} sin (3 x) + \frac{2}{5 π} sin (5 x) + \dots

La funzione è assegnata su $[0, π)$ e prolungata per disparità, quindi gli $a_{n}$ sono nulli e i $b_{n}$ si calcolano con il doppio dell’integrale su $[0, π]$ . La funzione è nulla su $[\frac{π}{2}, π)$ , perciò l’integrale si riduce a $(0, \frac{π}{2})$ . Il valore $cos \frac{nπ}{2}$ segue un ciclo di lunghezza quattro, quindi i coefficienti non si dividono più in pari e dispari ma in quattro classi secondo il resto di $n$ modulo $4$ : per $n$ dispari $b_{n} = \frac{2}{nπ}$ , per $n$ multiplo di $4$ il coefficiente è nullo, per $n$ pari non multiplo di $4$ vale $b_{n} = \frac{4}{nπ}$ . Nella serie scritta per esteso il termine in $sin (2 x)$ ha coefficiente $\frac{4}{2 π} = \frac{2}{π}$ e il termine in $sin (4 x)$ non compare.