Esercizi svolti · Scheda 3

Serie di Fourier di polinomi su [−π, π)

Teoria usata: Coefficienti di Fourier Serie di soli coseni e di soli seni Convergenza uniforme per funzioni continue e regolari a tratti

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Esercizio 1

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2 π$ -periodico di $f (x) = π - x$ , $x \in [- π, π)$ .

a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} (π - x) d x = \frac{1}{π} \cdot 2 π^{2} = 2 π

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} π cos (n x) d x - \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x cos (n x) d x = 0 - 0 = 0

b_{n} = - \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x sin (n x) d x = - \frac{1}{π} ([- \frac{x cos ( n x )}{n}]_{- π}^{π} + \frac{1}{n} \int_{- π}^{π} cos (n x) d x) = - \frac{1}{π} \cdot (- \frac{2 π ( - 1 ) ^{n}}{n} + 0) = \frac{2 ( - 1 ) ^{n}}{n}

π - x \sim π + n = 1 \sum \infty \frac{2 ( - 1 ) ^{n}}{n} sin (n x)

La funzione è la somma della costante $π$ e della funzione dispari $- x$ , quindi conviene calcolare i coefficienti separando i due addendi per la linearità dell’integrale. La costante contribuisce soltanto ad $a_{0}$ , che vale $2 π$ , perciò il termine costante della serie è $π$ . Gli $a_{n}$ con $n \geq 1$ sono nulli: l’integrale di $cos (n x)$ su un periodo è nullo, e $x cos (n x)$ è una funzione dispari su un intervallo simmetrico. Per i $b_{n}$ contribuisce soltanto $- x$ : l’integrazione per parti produce il termine ai limiti $- \frac{x cos ( n x )}{n}$ , che valutato tra $- π$ e $π$ dà $- \frac{2 π ( - 1 ) ^{n}}{n}$ , mentre l’integrale residuo di $cos (n x)$ è nullo. Con il segno meno davanti risulta $b_{n} = \frac{2 ( - 1 ) ^{n}}{n}$ , cioè l’opposto dei coefficienti del dente di sega $f (x) = x$ calcolati nella teoria.

Esercizio 2

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2 π$ -periodico di $f (x) = x + x^{2}$ , $x \in [- π, π)$ .

x + x^{2} = dispari x + pari x^{2}

a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x^{2} d x = \frac{2 π ^{2}}{3}, a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x^{2} cos (n x) d x = \frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}

b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x sin (n x) d x = \frac{2}{π} [- \frac{x cos ( n x )}{n}]_{0}^{π} = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}

x + x^{2} \sim \frac{π ^{2}}{3} + n = 1 \sum \infty (\frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} cos (n x) + \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n} sin (n x))

La funzione non ha simmetrie, ma si decompone nella parte dispari $x$ e nella parte pari $x^{2}$ . Poiché il prodotto di una funzione dispari per $cos (n x)$ è dispari, agli $a_{n}$ contribuisce soltanto $x^{2}$ ; per lo stesso motivo ai $b_{n}$ contribuisce soltanto $x$ . I coefficienti dei due pezzi si calcolano per parti sull’intervallo $[0, π]$ : per $x^{2}$ servono due integrazioni, svolte per esteso nell’esempio della teoria, e risulta $a_{n} = \frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ ; per $x$ ne basta una, e nel termine ai limiti resta $- \frac{π cos ( nπ )}{n}$ , da cui $b_{n} = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$ , poiché l’integrale residuo di $cos (n x)$ su $[0, π]$ è nullo. La serie finale somma le due serie, quindi contiene sia coseni sia seni.

Esercizio 3

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2 π$ -periodico di $f (x) = x^{3} - π^{2} x$ , $x \in [- π, π]$ , e stabilire se la convergenza è uniforme su $R$ .

f dispari ⟹ a_{n} = 0, b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} (x^{3} - π^{2} x) sin (n x) d x

\int_{0}^{π} x sin (n x) d x = \frac{π ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}

\int_{0}^{π} x^{3} sin (n x) d x = [- \frac{x ^{3} cos ( n x )}{n}]_{0}^{π} + \frac{3}{n} \int_{0}^{π} x^{2} cos (n x) d x = \frac{π ^{3} ( - 1 ) ^{n + 1}}{n} + \frac{3}{n} \cdot \frac{2 π ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} = \frac{π ^{3} ( - 1 ) ^{n + 1}}{n} + \frac{6 π ( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}}

b_{n} = \frac{2}{π} (\frac{π ^{3} ( - 1 ) ^{n + 1}}{n} + \frac{6 π ( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}} - π^{2} \cdot \frac{π ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}) = \frac{12 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}}

x^{3} - π^{2} x \sim n = 1 \sum \infty \frac{12 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}} sin (n x), convergenza uniforme su R

La funzione è dispari, perché somma di potenze dispari di $x$ , quindi la serie è di soli seni. L’integrale di $x sin (n x)$ si calcola per parti come negli esercizi precedenti. Per $x^{3} sin (n x)$ si integra per parti una volta e l’integrale residuo contiene $x^{2} cos (n x)$ , il cui valore $\frac{2 π ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ su $[0, π]$ è stato ottenuto nell’esempio della teoria sulla serie di $x^{2}$ (il coefficiente $a_{n} = \frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ equivale a $\int_{0}^{π} x^{2} cos (n x) d x = \frac{2 π ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ ). Nella combinazione finale i termini in $\frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$ provenienti da $x^{3}$ e da $- π^{2} x$ si elidono, perciò sopravvive soltanto il termine in $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}}$ e risulta $b_{n} = \frac{12 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}}$ . Poiché $f (π) = f (- π) = 0$ , il prolungamento periodico è continuo, e la funzione è regolare a tratti; quindi il teorema sulla convergenza uniforme si applica e la serie converge uniformemente a $f$ su $R$ , in accordo con la convergenza della serie dei moduli $\sum \frac{12}{n ^{3}}$ .