Studio della differenziabilità con la definizione

Il primo passo è il calcolo delle derivate parziali nell’origine con la definizione: lungo l’asse $x$ la funzione vale $t^2$ e il rapporto incrementale $\frac{t^2}{t}=t$ tende a $0$, quindi $f_x(0,0)=0$; lungo l’asse $y$ il rapporto vale $3t$ e tende a $0$, quindi $f_y(0,0)=0$. Il secondo passo è il limite della definizione di differenziabilità, con il numeratore $f(h,k)-f(0,0)-f_{x}h-f_{y}k=h^2+3k^2$. Poiché $h^2+3k^2\le 3(h^2+k^2)$, il rapporto è compreso tra $0$ e $3\sqrt{h^2+k^2}$, che tende a $0$; per il teorema del confronto il limite vale $0$, quindi la definizione è soddisfatta e $f$ è differenziabile nell’origine.

Si parte dal rapporto incrementale della derivata parziale rispetto a $x$: lungo l’asse $x$ la funzione vale $\sqrt{t^2}=|t|$, quindi il rapporto è $\frac{|t|}{t}$. I limiti laterali valgono $1$ e $-1$ e sono diversi, perciò il limite non esiste e $f$ non è derivabile rispetto a $x$ nell’origine. Poiché la differenziabilità richiede l’esistenza di entrambe le derivate parziali, l’ipotesi necessaria non è soddisfatta e $f$ non è differenziabile in $(0,0)$. Il grafico di $f$ è un cono con vertice nell’origine, punto in cui nessun piano approssima il grafico al primo ordine.

Sugli assi la funzione è identicamente nulla, perché il numeratore $xy$ si annulla quando una delle due coordinate è nulla; quindi entrambi i rapporti incrementali sono nulli e le derivate parziali nell’origine esistono e valgono $0$. Il limite della differenziabilità ha come rapporto la funzione $\frac{hk}{h^2+k^2}$. Lungo la retta $k=h$ il rapporto vale costantemente $\frac{1}{2}$, mentre lungo l’asse $k=0$ vale $0$: due restrizioni hanno limiti diversi, quindi il limite non esiste e in particolare non vale $0$. La definizione di differenziabilità non è soddisfatta, perciò $f$ non è differenziabile nell’origine, pur essendo derivabile e anche continua, dato che $|f(x,y)|\le \frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}$ per la disuguaglianza $2|xy|\le x^2+y^2$.