Esercizi svolti · Scheda 1

Calcolo di derivate parziali e gradiente

Teoria usata: Derivata parziale Gradiente

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Esercizio 1

Calcolare le derivate parziali di

f (x, y) = x^{3} y^{2} - 2 x y + 5 y

e il gradiente $\nabla f (1, 2)$ .

f_{x} (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 2 y, f_{y} (x, y) = 2 x^{3} y - 2 x + 5

f_{x} (1, 2) f_{y} (1, 2) = 3 \cdot 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 8 = 2 \cdot 1 \cdot 2 - 2 + 5 = 7

\nabla f (1, 2) = (8, 7)

Per calcolare $f_{x}$ si deriva rispetto a $x$ trattando $y$ come una costante: il termine $x^{3} y^{2}$ ha derivata $3 x^{2} y^{2}$ , il termine $- 2 x y$ ha derivata $- 2 y$ , e il termine $5 y$ è costante rispetto a $x$ , quindi ha derivata nulla. Per $f_{y}$ i ruoli si scambiano: $x^{3} y^{2}$ dà $2 x^{3} y$ , $- 2 x y$ dà $- 2 x$ e $5 y$ dà $5$ . Il gradiente in $(1, 2)$ si ottiene sostituendo le coordinate del punto nelle due derivate, perciò $\nabla f (1, 2) = (8, 7)$ .

Esercizio 2

Calcolare il gradiente di

f (x, y) = (x^{2} + y) e^{x y}

nel punto $(1, 0)$ .

f_{x} (x, y) = 2 x e^{x y} + (x^{2} + y) y e^{x y} = e^{x y} (2 x + x^{2} y + y^{2})

f_{y} (x, y) = e^{x y} + (x^{2} + y) x e^{x y} = e^{x y} (1 + x^{3} + x y)

f_{x} (1, 0) = e^{0} (2 + 0 + 0) = 2, f_{y} (1, 0) = e^{0} (1 + 1 + 0) = 2

\nabla f (1, 0) = (2, 2)

La funzione è un prodotto, quindi per ciascuna derivata parziale si applica la regola del prodotto nella variabile di derivazione. Derivando rispetto a $x$ , il fattore $x^{2} + y$ ha derivata $2 x$ e il fattore $e^{x y}$ ha derivata $y e^{x y}$ , perché l’esponente $x y$ ha derivata $y$ rispetto a $x$ . Derivando rispetto a $y$ , il primo fattore ha derivata $1$ e l’esponenziale ha derivata $x e^{x y}$ . In entrambi i casi si raccoglie $e^{x y}$ per compattare il risultato. Nel punto $(1, 0)$ l’esponenziale vale $e^{0} = 1$ , quindi restano i polinomi $2 x + x^{2} y + y^{2}$ e $1 + x^{3} + x y$ , che valgono entrambi $2$ .

Esercizio 3

Calcolare il gradiente di

f (x, y) = ln (x^{2} + y^{2}) + arctan \frac{y}{x}

nel punto $(1, 1)$ , nel semipiano $x > 0$ .

f_{x} (x, y) = \frac{2 x}{x ^{2} + y ^{2}} + \frac{1}{1 + \frac{y ^{2}}{x ^{2}}} \cdot (- \frac{y}{x ^{2}}) = \frac{2 x}{x ^{2} + y ^{2}} - \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{2 x - y}{x ^{2} + y ^{2}}

f_{y} (x, y) = \frac{2 y}{x ^{2} + y ^{2}} + \frac{1}{1 + \frac{y ^{2}}{x ^{2}}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 y}{x ^{2} + y ^{2}} + \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{2 y + x}{x ^{2} + y ^{2}}

\nabla f (1, 1) = (\frac{2 - 1}{2}, \frac{2 + 1}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})

Il logaritmo si deriva come funzione composta: la derivata è il reciproco dell’argomento per la derivata dell’argomento, quindi rispetto a $x$ si ottiene $\frac{2 x}{x ^{2} + y ^{2}}$ e rispetto a $y$ si ottiene $\frac{2 y}{x ^{2} + y ^{2}}$ . Anche l’arcotangente è composta: la sua derivata è $\frac{1}{1 + u ^{2}}$ per la derivata di $u = \frac{y}{x}$ , che vale $- \frac{y}{x ^{2}}$ rispetto a $x$ e $\frac{1}{x}$ rispetto a $y$ . Moltiplicando numeratore e denominatore per $x^{2}$ , il fattore $\frac{1}{1 + \frac{y ^{2}}{x ^{2}}}$ diventa $\frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}}$ , quindi i due addendi di ciascuna derivata hanno lo stesso denominatore $x^{2} + y^{2}$ e si sommano. Nel punto $(1, 1)$ il denominatore vale $2$ , perciò il gradiente è $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ .