Esercizi svolti · Scheda 3

Derivate direzionali e direzione di massima crescita

Teoria usata: Derivata direzionale Formula del gradiente Direzione di massima crescita

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Esercizio 1

Calcolare la derivata direzionale di

f (x, y) = x^{2} y + y^{3}

nel punto $(1, 2)$ lungo il versore $v = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ .

f_{x} = 2 x y, f_{y} = x^{2} + 3 y^{2}

\nabla f (1, 2) = (2 \cdot 1 \cdot 2, 1 + 3 \cdot 4) = (4, 13)

D_{v} f (1, 2) = 4 \cdot \frac{3}{5} + 13 \cdot \frac{4}{5} = \frac{12 + 52}{5} = \frac{64}{5}

La funzione è un polinomio, quindi le derivate parziali sono continue su tutto $R^{2}$ e per il teorema del differenziale totale $f$ è differenziabile in ogni punto. La formula del gradiente si applica, perciò la derivata direzionale è il prodotto scalare fra il gradiente nel punto e il versore. Il vettore assegnato ha modulo $\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$ , quindi è già un versore e il prodotto scalare dà direttamente $\frac{64}{5}$ .

Esercizio 2

Calcolare la derivata direzionale di

f (x, y) = e^{x} cos y

nel punto $(0, \frac{π}{2})$ nella direzione del vettore $w = (1, - 1)$ .

v = \frac{w}{∣ w ∣} = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

f_{x} = e^{x} cos y, f_{y} = - e^{x} sin y

\nabla f (0, \frac{π}{2}) = (e^{0} cos \frac{π}{2}, - e^{0} sin \frac{π}{2}) = (0, - 1)

D_{v} f (0, \frac{π}{2}) = 0 \cdot \frac{1}{2} + (- 1) (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

Il vettore $w = (1, - 1)$ ha modulo $2$ , quindi prima si normalizza dividendo per il modulo: la derivata direzionale è definita lungo un versore. La funzione è prodotto di un esponenziale e di un coseno, con derivate parziali continue, perciò è differenziabile e la formula del gradiente si applica. Nel punto assegnato il coseno si annulla e il seno vale $1$ , quindi il gradiente è $(0, - 1)$ . Il prodotto scalare con il versore dà $\frac{1}{2}$ , che razionalizzato si scrive $\frac{2}{2}$ .

Esercizio 3

Determinare la direzione di massima crescita di

f (x, y) = ln (1 + x^{2} + 2 y^{2})

nel punto $(1, 1)$ e il valore massimo della derivata direzionale in quel punto.

f_{x} = \frac{2 x}{1 + x ^{2} + 2 y ^{2}}, f_{y} = \frac{4 y}{1 + x ^{2} + 2 y ^{2}}

\nabla f (1, 1) = (\frac{2}{4}, \frac{4}{4}) = (\frac{1}{2}, 1)

\nabla f (1, 1) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{2}

v = \frac{\nabla f ( 1 , 1 )}{∣\nabla f ( 1 , 1 ) ∣} = (\frac{1}{5}, \frac{2}{5}), v max D_{v} f (1, 1) = \frac{5}{2}

La funzione è differenziabile perché le sue derivate parziali sono continue, dato che il denominatore $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ è sempre maggiore o uguale a $1$ . Nel punto $(1, 1)$ il denominatore vale $4$ , quindi il gradiente è $(\frac{1}{2}, 1)$ . Per il teorema sulla direzione di massima crescita, la derivata direzionale è massima lungo il versore del gradiente e il suo valore massimo è il modulo del gradiente. Normalizzando $(\frac{1}{2}, 1)$ , che ha modulo $\frac{5}{2}$ , si ottiene il versore $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ ; il tasso massimo di crescita vale $\frac{5}{2}$ .