Esercizi svolti · Scheda 2

Equazioni esponenziali risolte con il logaritmo

Teoria usata: Equazione con basi diverse Uguaglianza di potenze con la stessa base

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

3^{x} = 7.

3^{x} = 7 ⟺ x = lo g_{3} 7

Soluzione: $x = lo g_{3} 7$ .

Il numero $7$ non è una potenza di $3$ con esponente razionale riconoscibile, quindi l’equazione non si riconduce all’uguaglianza di potenze con la stessa base in forma elementare. Il logaritmo $lo g_{3} 7$ è per definizione l’esponente da dare a $3$ per ottenere $7$ , perciò la soluzione è $x = lo g_{3} 7$ . Il secondo membro è positivo, quindi la soluzione esiste ed è unica per l’iniettività della funzione esponenziale.

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

2^{x - 3} = 5.

2^{x - 3} = 5 ⟺ x - 3 = lo g_{2} 5 ⟺ x = 3 + lo g_{2} 5

Soluzione: $x = 3 + lo g_{2} 5$ .

L’equazione ha la forma $2^{A} = 5$ con $A = x - 3$ , quindi per definizione di logaritmo l’esponente vale $A = lo g_{2} 5$ . Resta l’equazione di primo grado $x - 3 = lo g_{2} 5$ , da cui $x = 3 + lo g_{2} 5$ ; il valore $lo g_{2} 5$ si tratta come un numero, compreso tra $2$ e $3$ perché $2^{2} = 4 < 5 < 8 = 2^{3}$ .

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

5^{2 x + 1} = 2.

5^{2 x + 1} = 2 ⟺ 2 x + 1 = lo g_{5} 2 ⟺ x = \frac{lo g _{5} 2 - 1}{2}

Soluzione: $x = \frac{lo g _{5} 2 - 1}{2}$ .

Il numero $2$ non è una potenza di $5$ con esponente riconoscibile, quindi per definizione di logaritmo l’intero esponente vale $2 x + 1 = lo g_{5} 2$ . Si risolve poi l’equazione di primo grado: sottraendo $1$ e dividendo per $2$ si ottiene $x = \frac{lo g _{5} 2 - 1}{2}$ . Il risultato è negativo, poiché $lo g_{5} 2 < 1$ ; la verifica è coerente, perché per ottenere un valore minore della base l’esponente $2 x + 1 = lo g_{5} 2$ è minore di $1$ .