Esercizi svolti · Scheda 1

Equazioni esponenziali con la stessa base

Teoria usata: Uguaglianza di potenze con la stessa base Regole delle potenze

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

3^{x} = 81.

3^{x} = 81 ⟺ 3^{x} = 3^{4} ⟺ x = 4

Soluzione: $x = 4$ .

Il numero $81$ è una potenza di $3$ , poiché $3^{4} = 81$ , quindi i due membri si scrivono come potenze della stessa base. La funzione esponenziale di base $3$ è iniettiva, perciò l’uguaglianza delle potenze equivale all’uguaglianza degli esponenti, cioè $x = 4$ .

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

2^{x + 1} = 8^{x - 1} .

8^{x - 1} = (2^{3})^{x - 1} = 2^{3 x - 3}

2^{x + 1} = 2^{3 x - 3} ⟺ x + 1 = 3 x - 3 ⟺ 4 = 2 x ⟺ x = 2

Soluzione: $x = 2$ .

Le basi $2$ e $8$ sono diverse, ma $8 = 2^{3}$ , quindi il secondo membro si riscrive come potenza di $2$ con la regola della potenza di potenza, che moltiplica gli esponenti. I due membri sono ora potenze della stessa base, perciò l’equazione equivale all’uguaglianza degli esponenti $x + 1 = 3 x - 3$ , un’equazione di primo grado con soluzione $x = 2$ . La verifica conferma il risultato: per $x = 2$ il primo membro vale $2^{3} = 8$ e il secondo vale $8^{1} = 8$ .

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

(\frac{1}{9})^{x} = 2 7^{x - 1} .

(\frac{1}{9})^{x} = (3^{- 2})^{x} = 3^{- 2 x}, 2 7^{x - 1} = (3^{3})^{x - 1} = 3^{3 x - 3}

3^{- 2 x} = 3^{3 x - 3} ⟺ - 2 x = 3 x - 3 ⟺ 3 = 5 x ⟺ x = \frac{3}{5}

Soluzione: $x = \frac{3}{5}$ .

Sia $\frac{1}{9}$ sia $27$ sono potenze di $3$ , poiché $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ e $27 = 3^{3}$ , quindi entrambi i membri si riscrivono come potenze di base $3$ con la regola della potenza di potenza. L’uguaglianza delle potenze equivale allora all’uguaglianza degli esponenti $- 2 x = 3 x - 3$ ; portando i termini con l’incognita nello stesso membro si ottiene $5 x = 3$ , quindi $x = \frac{3}{5}$ .