Esercizi svolti · Scheda 3

Equazioni esponenziali con sostituzione

Teoria usata: Metodo di sostituzione Uguaglianza di potenze con la stessa base

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0.

Posto $t = 2^{x}$ , con $t > 0$ , poiché $4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}$ :

t^{2} - 5 t + 4 = 0 ⟺ t = 1 oppure t = 4

2^{x} = 1 = 2^{0} ⟺ x = 0, 2^{x} = 4 = 2^{2} ⟺ x = 2

Soluzioni: $x = 0$ e $x = 2$ .

Nell’equazione compaiono $4^{x} = (2^{x})^{2}$ e $2^{x}$ , quindi la sostituzione $t = 2^{x}$ la trasforma in un’equazione di secondo grado in $t$ , con la condizione $t > 0$ perché una potenza di base positiva è positiva. Le soluzioni $t = 1$ e $t = 4$ sono entrambe positive, perciò entrambe accettabili. Ciascuna dà un’equazione con la stessa base: da $2^{x} = 2^{0}$ segue $x = 0$ e da $2^{x} = 2^{2}$ segue $x = 2$ , per l’uguaglianza degli esponenti.

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

2^{2 x} - 2^{x + 1} - 8 = 0.

Poiché $2^{2 x} = (2^{x})^{2}$ e $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ , posto $t = 2^{x}$ , con $t > 0$ :

t^{2} - 2 t - 8 = 0 ⟺ t = 4 oppure t = - 2

La soluzione $t = - 2$ va scartata, perché $t > 0$ .

2^{x} = 4 = 2^{2} ⟺ x = 2

Soluzione: $x = 2$ .

Il termine $2^{x + 1}$ si riscrive $2 \cdot 2^{x}$ con la regola del prodotto di potenze, quindi tutta l’equazione si esprime per mezzo di $2^{x}$ e la sostituzione $t = 2^{x}$ dà un’equazione di secondo grado. Delle due soluzioni, $t = - 2$ è negativa e quindi va scartata, perché $2^{x} > 0$ per ogni $x$ . Resta $2^{x} = 4$ , che per l’uguaglianza di potenze con la stessa base dà $x = 2$ . La verifica conferma il risultato: per $x = 2$ si ottiene $16 - 8 - 8 = 0$ .

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

3^{x} + 3^{1 - x} = 4.

Poiché $3^{1 - x} = \frac{3}{3 ^{x}}$ , posto $t = 3^{x}$ , con $t > 0$ :

t + \frac{3}{t} = 4 ⟺ t^{2} - 4 t + 3 = 0 ⟺ t = 1 oppure t = 3

3^{x} = 1 = 3^{0} ⟺ x = 0, 3^{x} = 3 ⟺ x = 1

Soluzioni: $x = 0$ e $x = 1$ .

Il termine $3^{1 - x}$ si riscrive $\frac{3}{3 ^{x}}$ con la regola del quoziente di potenze, quindi la sostituzione $t = 3^{x}$ dà l’equazione $t + \frac{3}{t} = 4$ . Poiché $t > 0$ , moltiplicare entrambi i membri per $t$ è lecito e non introduce soluzioni estranee; si ottiene l’equazione di secondo grado $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ , con soluzioni $t = 1$ e $t = 3$ , entrambe positive e quindi accettabili. Le due equazioni con la stessa base danno $x = 0$ e $x = 1$ ; la verifica le conferma, perché $1 + 3 = 4$ e $3 + 1 = 4$ .