Esercizi svolti · Scheda 3

Convergenza uniforme su sottointervalli

Teoria usata: Convergenza uniforme Criterio del sup Continuità del limite uniforme

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Esercizio 1

Studiare la convergenza puntuale e uniforme di $f_{n} (x) = x^{n}$ su $[0, 1]$ , su $[0, 1)$ e su $[0, a]$ con $0 < a < 1$ .

f (x) = {01 se 0 \leq x < 1 se x = 1

[0, 1] : f discontinua in 1 ⟹ convergenza non uniforme

[0, 1) : M_{n} = 0 \leq x < 1 sup x^{n} = 1 \neq \to 0 ⟹ convergenza non uniforme

[0, a] : M_{n} = 0 \leq x \leq a sup x^{n} = a^{n} n \to + \infty 0 ⟹ convergenza uniforme

Il limite puntuale distingue due casi: per $0 \leq x < 1$ la successione geometrica $x^{n}$ tende a $0$ , mentre in $x = 1$ ogni termine vale $1$ . Su $[0, 1]$ le $f_{n}$ sono continue e il limite puntuale è discontinuo, quindi per il teorema di continuità del limite uniforme la convergenza non può essere uniforme. Su $[0, 1)$ il limite è la funzione nulla, che è continua, ma il criterio del sup non è soddisfatto: poiché $x^{n} \to 1$ per $x \to 1^{-}$ , l’estremo superiore di $x^{n}$ su $[0, 1)$ vale $1$ per ogni $n$ , e non tende a $0$ . Su $[0, a]$ la funzione $x^{n}$ è crescente, quindi il massimo è $a^{n}$ , che tende a $0$ perché $0 < a < 1$ ; perciò la convergenza è uniforme su ogni intervallo $[0, a]$ con $a < 1$ .

Esercizio 2

Studiare la convergenza puntuale e uniforme di $f_{n} (x) = arctan (n x)$ su $R$ e su $[δ, + \infty)$ con $δ > 0$ .

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{π}{2} 0 - \frac{π}{2} se x > 0 se x = 0 se x < 0

R : f discontinua in 0 ⟹ convergenza non uniforme

x \geq δ : 0 \leq \frac{π}{2} - arctan (n x) \leq \frac{π}{2} - arctan (n δ)

M_{n} = x \geq δ sup f_{n} (x) - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} - arctan (n δ) n \to + \infty 0 ⟹ convergenza uniforme su [δ, + \infty)

Per $x > 0$ fissato l’argomento $n x$ tende a $+ \infty$ , quindi $arctan (n x) \to \frac{π}{2}$ ; per $x < 0$ il limite è $- \frac{π}{2}$ , e in $x = 0$ ogni termine vale $0$ . Il limite puntuale è quindi discontinuo nell’origine, mentre ogni $f_{n}$ è continua, perciò la convergenza non è uniforme su $R$ . Sulla semiretta $[δ, + \infty)$ la differenza $\frac{π}{2} - arctan (n x)$ è positiva e decrescente in $x$ , dato che l’arcotangente è crescente, quindi il sup si trova nel primo punto $x = δ$ . Poiché $n δ \to + \infty$ , la quantità $\frac{π}{2} - arctan (n δ)$ tende a $0$ , e il criterio del sup garantisce la convergenza uniforme su $[δ, + \infty)$ per ogni $δ > 0$ .

Esercizio 3

Studiare la convergenza puntuale e uniforme di $f_{n} (x) = e^{- n x}$ su $(0, + \infty)$ e su $[δ, + \infty)$ con $δ > 0$ .

x > 0 : e^{- n x} n \to + \infty 0 ⟹ f (x) = 0 su (0, + \infty)

(0, + \infty) : M_{n} = x > 0 sup e^{- n x} = x \to 0^{+} lim e^{- n x} = 1 \neq \to 0 ⟹ convergenza non uniforme

[δ, + \infty) : M_{n} = x \geq δ sup e^{- n x} = e^{- n δ} n \to + \infty 0 ⟹ convergenza uniforme

Per ogni $x > 0$ fissato l’esponente $- n x$ tende a $- \infty$ , quindi $f_{n} (x) \to 0$ e il limite puntuale è la funzione nulla. La funzione $e^{- n x}$ è decrescente in $x$ , perciò su $(0, + \infty)$ l’estremo superiore si trova al bordo sinistro: per $x \to 0^{+}$ i valori tendono a $1$ , quindi $M_{n} = 1$ per ogni $n$ e la convergenza non è uniforme. In questo caso il limite puntuale è continuo su $(0, + \infty)$ , quindi l’esempio mostra che il teorema di continuità del limite uniforme non si inverte. Su $[δ, + \infty)$ la decrescenza dà $M_{n} = e^{- n δ}$ , che tende a $0$ perché $δ > 0$ è fissato, perciò la convergenza è uniforme su ogni semiretta $[δ, + \infty)$ .