Esercizi svolti · Scheda 2

Convergenza uniforme con il criterio del sup

Teoria usata: Convergenza uniforme Criterio del sup

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Esercizio 1

Studiare la convergenza puntuale e uniforme su $[0, + \infty)$ della successione di funzioni

f_{n} (x) = x e^{- 2 n x} .

f_{n} (0) = 0, x > 0 : e^{- 2 n x} \to 0 ⟹ f (x) = 0 su [0, + \infty)

f_{n}^{'} (x) = e^{- 2 n x} (1 - 2 n x) f_{n}^{'} (x) > 0 ⟺ x < \frac{1}{2 n}

M_{n} = x \geq 0 sup ∣ f_{n} (x) - 0∣ = f_{n} (\frac{1}{2 n}) = \frac{1}{2 n e} n \to + \infty 0

f_{n} \to 0 uniformemente su [0, + \infty)

Il limite puntuale si calcola per $x$ fissato: in $x = 0$ ogni $f_{n}$ vale $0$ , e per $x > 0$ l’esponenziale $e^{- 2 n x}$ tende a $0$ più rapidamente di ogni costante, quindi $f (x) = 0$ in tutti i punti. Per il criterio del sup si studia $∣ f_{n} - f ∣ = f_{n}$ , che è non negativa. La derivata $f_{n}^{'} (x) = e^{- 2 n x} (1 - 2 n x)$ si annulla in $x = \frac{1}{2 n}$ , è positiva prima e negativa dopo, quindi quel punto è il massimo assoluto su $[0, + \infty)$ . Il valore massimo è $M_{n} = \frac{1}{2 n} e^{- 1} = \frac{1}{2 n e}$ . Poiché $M_{n} \to 0$ , la convergenza è uniforme su tutta la semiretta.

Esercizio 2

Studiare la convergenza puntuale e uniforme su $R$ della successione di funzioni

f_{n} (x) = \frac{x}{1 + n ^{2} x ^{2}} .

f_{n} (0) = 0, x \neq = 0 : ∣ f_{n} (x) ∣ \leq \frac{∣ x ∣}{n ^{2} x ^{2}} = \frac{1}{n ^{2} ∣ x ∣} \to 0 ⟹ f (x) = 0 su R

f_{n}^{'} (x) = \frac{1 - n ^{2} x ^{2}}{( 1 + n ^{2} x ^{2} ) ^{2}} f_{n}^{'} (x) = 0 ⟺ x = \pm \frac{1}{n}

M_{n} = x \in R sup ∣ f_{n} (x) ∣ = f_{n} (\frac{1}{n}) = \frac{\frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2 n} n \to + \infty 0

f_{n} \to 0 uniformemente su R

Per il limite puntuale si fissa $x$ : in $x = 0$ tutte le $f_{n}$ valgono $0$ , e per $x \neq = 0$ il denominatore cresce come $n^{2}$ , quindi il modulo di $f_{n} (x)$ è maggiorato da $\frac{1}{n ^{2} ∣ x ∣}$ , che tende a $0$ . La funzione $f_{n}$ è dispari, perciò il sup del modulo su $R$ coincide con il massimo su $[0, + \infty)$ . La derivata si annulla in $x = \frac{1}{n}$ , con $f_{n}$ crescente prima e decrescente dopo, quindi il massimo vale $f_{n} (\frac{1}{n}) = \frac{1}{2 n}$ . Poiché $M_{n} = \frac{1}{2 n} \to 0$ , il criterio del sup garantisce la convergenza uniforme su tutto $R$ .

Esercizio 3

Studiare la convergenza puntuale e uniforme su $R$ della successione di funzioni

f_{n} (x) = n x e^{- n x^{2}} .

f_{n} (0) = 0, x \neq = 0 : n e^{- n x^{2}} \to 0 ⟹ f (x) = 0 su R

f_{n}^{'} (x) = n e^{- n x^{2}} (1 - 2 n x^{2}) f_{n}^{'} (x) = 0 ⟺ x = \pm \frac{1}{2 n}

M_{n} = x \in R sup ∣ f_{n} (x) ∣ = f_{n} (\frac{1}{2 n}) = \frac{n}{2 n} e^{- 1/2} = \frac{n}{2 e} n \to + \infty + \infty

f_{n} \to 0 puntualmente ma non uniformemente su R

Per $x \neq = 0$ fissato la quantità $n e^{- n x^{2}}$ tende a $0$ , poiché l’esponenziale $e^{- n x^{2}}$ decresce più rapidamente di quanto cresca il fattore $n$ ; in $x = 0$ ogni termine vale $0$ . Quindi il limite puntuale è la funzione nulla su tutto $R$ . Per il sup si usa la disparità di $f_{n}$ e si studia la semiretta positiva: la derivata si annulla in $x = \frac{1}{2 n}$ , che è il punto di massimo, e il valore massimo è $\frac{n}{2 e}$ . Questa successione tende a $+ \infty$ , quindi il criterio del sup non è soddisfatto e la convergenza non è uniforme su $R$ : i grafici sviluppano vicino all’origine un picco sempre più alto, che la convergenza puntuale non vede.