Scambio dell'ordine di integrazione

La funzione $e^{y^2}$ non ha primitiva elementare rispetto a $y$, quindi l’integrale interno assegnato non si calcola direttamente e l’unica via è lo scambio dell’ordine di integrazione. Gli estremi assegnati descrivono il triangolo compreso tra la retta $y=x$, la retta $y=1$ e l’asse $y$: lo stesso triangolo, descritto rispetto all’asse $y$, ha $y\in [0,1]$ e, per ogni $y$ fissata, $x\in [0,y]$. Con il nuovo ordine la funzione non dipende da $x$, perciò l’integrale interno vale $y{e}^{y^2}$. Il fattore $y$ è, a meno della costante $2$, la derivata dell’esponente $y^2$, quindi la primitiva è $\frac{e^{y^2}}{2}$ e il risultato è $\frac{e-1}{2}$.

Anche in questo caso la funzione $\sin (y^3)$ non ha primitiva elementare, quindi si scambia l’ordine di integrazione. La condizione $\sqrt{x}\le y$ con $x,y\ge 0$ equivale a $x\le y^2$, perciò la regione è quella compresa tra l’asse $y$, la retta $y=1$ e la parabola $x=y^2$: rispetto all’asse $y$ si ha $y\in [0,1]$ e $x\in [0,y^2]$. L’integrale interno nel nuovo ordine vale $y^2\sin (y^3)$, e il fattore $y^2$ è, a meno della costante $3$, la derivata di $y^3$. La primitiva è quindi $-\frac{\cos (y^3)}{3}$ e il risultato è $\frac{1-\cos 1}{3}$.

La funzione $\frac{\sin x}{x}$ non ha primitiva elementare, quindi l’integrale interno assegnato, che è in $x$, non si calcola direttamente. La regione descritta dagli estremi è il triangolo delimitato dalle rette $x=y$, $x=1$ e dall’asse $x$; descritto rispetto all’asse $x$, ha $x\in [0,1]$ e $y\in [0,x]$. Con il nuovo ordine la funzione non dipende da $y$, perciò l’integrale interno vale $\frac{\sin x}{x}$ moltiplicato per la lunghezza $x$ del segmento verticale. Il prodotto si semplifica in $\sin x$, il cui integrale su $[0,1]$ vale $1-\cos 1$.