Esercizi svolti · Scheda 2

Integrali doppi su domini normali

Teoria usata: Dominio normale Formule di riduzione sui domini normali

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Esercizio 1

Calcolare l’integrale doppio

\iint_{D} x y d x d y, D = {(x, y) : 0 \leq x \leq 1, x^{2} \leq y \leq x} .

\iint_{D} x y d x d y = \int_{0}^{1} (\int_{x^{2}}^{x} x y d y) d x

\int_{x^{2}}^{x} x y d y = x [\frac{y ^{2}}{2}]_{y = x^{2}}^{y = x} = \frac{x ( x ^{2} - x ^{4} )}{2} = \frac{x ^{3} - x ^{5}}{2}

\int_{0}^{1} \frac{x ^{3} - x ^{5}}{2} d x = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{24}

Il dominio è assegnato direttamente in forma normale rispetto all’asse $x$ : la $x$ percorre l’intervallo $[0, 1]$ e, per ogni $x$ fissata, la $y$ va dalla parabola $y = x^{2}$ alla retta $y = x$ . La formula di riduzione dà quindi un integrale interno in $y$ con estremi $x^{2}$ e $x$ . Nell’integrale interno il fattore $x$ è costante ed esce dal segno di integrale; la primitiva di $y$ è $\frac{y ^{2}}{2}$ e la valutazione agli estremi produce il polinomio $\frac{x ^{3} - x ^{5}}{2}$ . L’integrale di questo polinomio su $[0, 1]$ vale $\frac{1}{24}$ .

Esercizio 2

Calcolare l’integrale doppio

\iint_{T} x d x d y,

dove $T$ è il triangolo di vertici $(0, 0)$ , $(2, 0)$ e $(0, 2)$ .

T = {(x, y) : {0 \leq x \leq 2 0 \leq y \leq 2 - x}

\iint_{T} x d x d y = \int_{0}^{2} (\int_{0}^{2 - x} x d y) d x = \int_{0}^{2} x (2 - x) d x

\int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = [x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

Il primo passo è la descrizione del triangolo in forma normale. Il lato obliquo congiunge $(2, 0)$ e $(0, 2)$ , quindi appartiene alla retta $x + y = 2$ , cioè $y = 2 - x$ . Per ogni $x \in [0, 2]$ il segmento verticale dentro $T$ parte dall’asse $x$ e arriva alla retta obliqua, perciò $0 \leq y \leq 2 - x$ . Nell’integrale interno la funzione $x$ è costante rispetto a $y$ , quindi l’integrale vale $x$ per la lunghezza del segmento, cioè $x (2 - x)$ . L’integrale del polinomio $2 x - x^{2}$ su $[0, 2]$ vale $\frac{4}{3}$ .

Esercizio 3

Calcolare l’integrale doppio

\iint_{D} y d x d y, D = {(x, y) : - 1 \leq y \leq 2, y^{2} \leq x \leq y + 2} .

\iint_{D} y d x d y = \int_{- 1}^{2} (\int_{y^{2}}^{y + 2} y d x) d y = \int_{- 1}^{2} y (y + 2 - y^{2}) d y

\int_{- 1}^{2} (y^{2} + 2 y - y^{3}) d y = [\frac{y ^{3}}{3} + y^{2} - \frac{y ^{4}}{4}]_{- 1}^{2} = (\frac{8}{3} + 4 - 4) - (- \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{4}) = \frac{8}{3} - \frac{5}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}

Il dominio è normale rispetto all’asse $y$ : la $y$ percorre $[- 1, 2]$ e, per ogni $y$ fissata, la $x$ va dalla parabola $x = y^{2}$ alla retta $x = y + 2$ . Gli estremi $- 1$ e $2$ sono le ordinate delle intersezioni tra le due curve, soluzioni di $y^{2} = y + 2$ . Poiché il dominio è descritto rispetto a $y$ , l’integrale interno è in $x$ ; la funzione $y$ è costante rispetto a $x$ , quindi l’integrale interno vale $y$ per la lunghezza del segmento orizzontale, cioè $y (y + 2 - y^{2})$ . Lo sviluppo del prodotto dà un polinomio in $y$ , il cui integrale su $[- 1, 2]$ vale $\frac{9}{4}$ . La descrizione rispetto all’asse $x$ sarebbe stata più laboriosa, poiché il bordo inferiore cambierebbe espressione nel punto $x = 1$ e il dominio andrebbe spezzato in due parti.