Esercizi svolti · Scheda 3

Razionalizzazioni

Teoria usata: Razionalizzazione Proprietà delle radici

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Esercizio 1

Razionalizzare

\frac{6}{12} .

\frac{6}{12} = \frac{6}{2 3} = \frac{3}{3} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{3 3}{3} = 3

Prima della razionalizzazione conviene semplificare la radice: $12 = 4 \cdot 3$ , quindi $12 = 23$ e la frazione si riduce a $\frac{3}{3}$ .

Il denominatore è una radice singola, quindi si moltiplicano numeratore e denominatore per $3$ : il prodotto $3 \cdot 3$ vale $3$ , perciò il denominatore diventa razionale. Il fattore $3$ si semplifica tra numeratore e denominatore e resta $3$ .

Esercizio 2

Razionalizzare

\frac{4}{7 - 3} .

\frac{4}{7 - 3} = \frac{4 ( 7 + 3 )}{( 7 - 3 ) ( 7 + 3 )} = \frac{4 ( 7 + 3 )}{7 - 3} = \frac{4 ( 7 + 3 )}{4} = 7 + 3

Il denominatore è un binomio con radici quadrate, quindi si moltiplicano numeratore e denominatore per il binomio coniugato $7 + 3$ . Il prodotto di una differenza per la somma corrispondente è la differenza dei quadrati, perciò al denominatore compaiono i quadrati delle radici: $7 - 3 = 4$ , un numero razionale.

Il fattore $4$ al denominatore si semplifica con il $4$ al numeratore, quindi il risultato è $7 + 3$ .

Esercizio 3

Razionalizzare

\frac{10}{3 25} .

\frac{10}{3 25} = \frac{10}{3 5 ^{2}} = \frac{10 \cdot 3 5}{3 5 ^{2} \cdot 3 5} = \frac{10 3 5}{3 5 ^{3}} = \frac{10 3 5}{5} = 235

Il radicando si scrive come potenza: $25 = 5^{2}$ . Con una radice cubica al denominatore, il fattore moltiplicativo è quello che completa il cubo sotto radice: poiché $5^{2} \cdot 5 = 5^{3}$ , si moltiplicano numeratore e denominatore per $35$ .

Il prodotto delle radici cubiche è la radice cubica del prodotto, quindi il denominatore diventa $3 5^{3} = 5$ , un numero razionale. La frazione $\frac{10}{5}$ si semplifica in $2$ e il risultato è $235$ .