Esercizi svolti · Scheda 4

Confronti e ordinamenti di potenze e radici

Teoria usata: Confronto tra potenze Confronto tra radici Proprietà delle potenze

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Esercizio 1

Confrontare

(\frac{2}{3})^{5} e (\frac{2}{3})^{8}, poi 3^{4} e 5^{4} .

0 < \frac{2}{3} < 1, 5 < 8 ⟹ (\frac{2}{3})^{5} > (\frac{2}{3})^{8}

0 < 3 < 5, 4 > 0 ⟹ 3^{4} < 5^{4}

Nel primo confronto le due potenze hanno la stessa base, compresa tra $0$ e $1$ : con una base di questo tipo la potenza decresce al crescere dell’esponente, quindi la potenza con esponente $5$ è la maggiore. La verifica con un caso ridotto conferma il verso, perché $\frac{2}{3} > \frac{4}{9}$ .

Nel secondo confronto le potenze hanno lo stesso esponente, positivo, e basi positive diverse; con lo stesso esponente positivo, alla base maggiore corrisponde la potenza maggiore, quindi $3^{4} < 5^{4}$ . Il calcolo diretto dà $81 < 625$ e conferma il risultato.

Esercizio 2

Stabilire quale tra $2^{40}$ e $3^{30}$ è maggiore.

2^{40} = (2^{4})^{10} = 1 6^{10}, 3^{30} = (3^{3})^{10} = 2 7^{10}

16 < 27 ⟹ 1 6^{10} < 2 7^{10} ⟹ 2^{40} < 3^{30}

Le basi e gli esponenti sono diversi, quindi il confronto diretto è impraticabile e si cerca un esponente comune. Gli esponenti $40$ e $30$ hanno il divisore comune $10$ , perciò con la potenza di potenza le due espressioni si riscrivono come potenze con esponente $10$ : $2^{40} = (2^{4})^{10}$ e $3^{30} = (3^{3})^{10}$ .

Le nuove basi sono $2^{4} = 16$ e $3^{3} = 27$ . Le potenze hanno ora lo stesso esponente positivo, quindi il confronto si riduce al confronto delle basi: poiché $16 < 27$ , segue $2^{40} < 3^{30}$ .

Esercizio 3

Ordinare dal minore al maggiore

2, 33, 610 .

2 = 6 2^{3} = 68, 33 = 6 3^{2} = 69, 610

8 < 9 < 10 ⟹ 2 < 33 < 610

Gli indici delle tre radici sono $2$ , $3$ e $6$ , e il loro minimo comune multiplo è $6$ , quindi con la proprietà invariantiva ogni radice si riscrive con indice $6$ : per $2$ indice ed esponente si moltiplicano per $3$ e il radicando diventa $2^{3} = 8$ ; per $33$ si moltiplicano per $2$ e il radicando diventa $3^{2} = 9$ ; la terza radice ha già indice $6$ .

Le tre radici hanno ora lo stesso indice, quindi l’ordinamento segue quello dei radicandi: da $8 < 9 < 10$ segue $2 < 33 < 610$ .