Semplificazioni e condizioni di esistenza con radici

In ogni radicando si separa il massimo quadrato perfetto: $72=36\cdot 2$, $50=25\cdot 2$ e $8=4\cdot 2$. La radice di un prodotto di fattori maggiori o uguali a zero è il prodotto delle radici, quindi il quadrato esce dal segno di radice e ogni termine diventa un multiplo di $\sqrt{2}$.

I tre termini contengono lo stesso fattore $\sqrt{2}$, perciò si raccolgono come monomi simili: i coefficienti si sommano con i loro segni e si ottiene $(6+5-2)\sqrt{2}=9\sqrt{2}$.

La prima radice ha indice pari, quindi richiede radicando maggiore o uguale a zero; poiché la radice sta al denominatore, deve inoltre essere diversa da zero, e le due richieste insieme equivalgono a $x-2>0$. La seconda radice ha indice pari e sta al numeratore, quindi basta la condizione $7-x\ge 0$.

Le due condizioni devono valere insieme, perciò si mettono a sistema. Dalla prima segue $x>2$ e dalla seconda segue $x\le 7$; l’intersezione dei due insiemi è l’intervallo $2<x\le 7$.

La radice di una radice è la radice con il prodotto degli indici, quindi in entrambi i casi gli indici $3$ e $2$ si moltiplicano e l’indice complessivo è $6$. Nel primo caso il radicando si riscrive come potenza: $64=2^6$, perciò la radice sesta di $2^6$ vale $2$.

Nel secondo caso il radicando è la potenza $a^{12}$ e la base $a$ è maggiore o uguale a zero, quindi la radice si riscrive come potenza a esponente razionale: $\sqrt[6]{a^{12}}=a^{\frac{12}{6}}$. L’esponente $\frac{12}{6}$ si semplifica in $2$, perciò il risultato è $a^2$.