Esercizi svolti · Scheda 2

Equazioni con il logaritmo uguale a un numero

Teoria usata: Logaritmo uguale a un numero Logaritmo

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

lo g_{2} (x + 3) = 4.

lo g_{2} (x + 3) = 4 ⟺ x + 3 = 2^{4} = 16 ⟺ x = 13

La condizione di esistenza $x + 3 > 0$ è soddisfatta, poiché $x + 3 = 16 > 0$ .

Soluzione: $x = 13$ .

Il logaritmo in base $2$ di $x + 3$ vale $4$ , quindi per la definizione di logaritmo l’argomento è la potenza $2^{4} = 16$ . Resta l’equazione di primo grado $x + 3 = 16$ , con soluzione $x = 13$ . La condizione di esistenza è automaticamente soddisfatta, perché l’argomento risulta uguale a $16$ , che è positivo.

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

lo g_{3} (2 x - 1) = 2.

lo g_{3} (2 x - 1) = 2 ⟺ 2 x - 1 = 3^{2} = 9 ⟺ x = 5

La condizione di esistenza $2 x - 1 > 0$ è soddisfatta, poiché $2 x - 1 = 9 > 0$ .

Soluzione: $x = 5$ .

Per la definizione di logaritmo, l’argomento $2 x - 1$ è uguale alla base $3$ elevata al valore del logaritmo, cioè $3^{2} = 9$ . L’equazione di primo grado $2 x - 1 = 9$ dà $2 x = 10$ , quindi $x = 5$ . La verifica conferma il risultato, perché $lo g_{3} (2 \cdot 5 - 1) = lo g_{3} 9 = 2$ .

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

lo g_{1/2} (x + 1) = - 3.

lo g_{1/2} (x + 1) = - 3 ⟺ x + 1 = (\frac{1}{2})^{- 3} = 2^{3} = 8 ⟺ x = 7

La condizione di esistenza $x + 1 > 0$ è soddisfatta, poiché $x + 1 = 8 > 0$ .

Soluzione: $x = 7$ .

La base del logaritmo è $\frac{1}{2}$ e il metodo non cambia: per la definizione di logaritmo l’argomento vale $(\frac{1}{2})^{- 3}$ . L’esponente negativo scambia la frazione con il suo reciproco, quindi $(\frac{1}{2})^{- 3} = 2^{3} = 8$ . Dall’equazione $x + 1 = 8$ segue $x = 7$ ; la verifica conferma il risultato, perché $lo g_{1/2} 8 = - 3$ in quanto $(\frac{1}{2})^{- 3} = 8$ .