Esercizi svolti · Scheda 3

Equazioni con le proprietà dei logaritmi e con sostituzione

Teoria usata: Proprietà dei logaritmi Metodo di sostituzione Condizioni di esistenza Logaritmo uguale a un numero

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3.

Condizioni di esistenza:

{x > 0 x - 2 > 0 ⟺ x > 2

lo g_{2} (x (x - 2)) = 3 ⟺ x (x - 2) = 2^{3} = 8

x^{2} - 2 x - 8 = 0 ⟺ x = 4 oppure x = - 2

Il valore $x = 4$ soddisfa le condizioni di esistenza; il valore $x = - 2$ non le soddisfa e va scartato.

Soluzione: $x = 4$ .

Il sistema delle condizioni di esistenza richiede $x > 0$ e $x > 2$ insieme, quindi equivale a $x > 2$ . Sugli argomenti positivi la somma di logaritmi è il logaritmo del prodotto, perciò il primo membro diventa $lo g_{2} (x (x - 2))$ ; per la definizione di logaritmo l’argomento vale $2^{3} = 8$ . L’equazione di secondo grado $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ ha soluzioni $x = 4$ e $x = - 2$ . Poiché $4 > 2$ , il valore $x = 4$ è accettabile; per $x = - 2$ entrambi gli argomenti dell’equazione data sono negativi, quindi la soluzione va scartata.

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

lo g_{3} (x + 6) - lo g_{3} x = 1.

Condizioni di esistenza:

{x + 6 > 0 x > 0 ⟺ x > 0

lo g_{3} \frac{x + 6}{x} = 1 ⟺ \frac{x + 6}{x} = 3^{1} = 3

x + 6 = 3 x ⟺ 6 = 2 x ⟺ x = 3

Il valore $x = 3$ soddisfa le condizioni di esistenza.

Soluzione: $x = 3$ .

Le condizioni di esistenza formano il sistema con $x + 6 > 0$ e $x > 0$ ; la seconda è la più restrittiva, quindi il sistema equivale a $x > 0$ . Sugli argomenti positivi la differenza di logaritmi è il logaritmo del quoziente, perciò il primo membro diventa $lo g_{3} \frac{x + 6}{x}$ e per la definizione di logaritmo l’argomento vale $3$ . Poiché $x > 0$ , moltiplicare entrambi i membri per $x$ è lecito e dà l’equazione di primo grado $x + 6 = 3 x$ , con soluzione $x = 3$ , che è positiva e quindi accettabile. La verifica conferma il risultato, perché $lo g_{3} 9 - lo g_{3} 3 = 2 - 1 = 1$ .

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

(lo g_{2} x)^{2} - lo g_{2} x - 6 = 0.

La condizione di esistenza è $x > 0$ . Posto $t = lo g_{2} x$ :

t^{2} - t - 6 = 0 ⟺ t = 3 oppure t = - 2

lo g_{2} x = 3 ⟺ x = 2^{3} = 8, lo g_{2} x = - 2 ⟺ x = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

Entrambi i valori sono positivi, quindi soddisfano la condizione di esistenza.

Soluzioni: $x = 8$ e $x = \frac{1}{4}$ .

L’equazione contiene $(lo g_{2} x)^{2}$ e $lo g_{2} x$ , quindi la sostituzione $t = lo g_{2} x$ la trasforma in un’equazione di secondo grado in $t$ . A differenza della sostituzione esponenziale, $t$ può assumere qualunque valore reale, perciò entrambe le soluzioni $t = 3$ e $t = - 2$ sono accettabili. Per la definizione di logaritmo, da $lo g_{2} x = t$ segue $x = 2^{t}$ : si ottengono $x = 8$ e $x = \frac{1}{4}$ , entrambi positivi, quindi la condizione di esistenza è soddisfatta in entrambi i casi.