Esercizi svolti · Scheda 4

Disequazioni della forma √A > B

Teoria usata: Disequazione della forma √A > B Condizioni di esistenza delle radici di indice pari

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Esercizio 1

Risolvere la disequazione

x + 4 > 2.

Il secondo membro è $2 \geq 0$ per ogni $x$ , quindi il primo sistema dell’unione non ha soluzioni e resta

{2 \geq 0 x + 4 > 4 {2 \geq 0 x > 0

La soluzione è $x > 0$ .

La regola generale per $A > B$ è l’unione di due sistemi, uno per $B < 0$ e uno per $B \geq 0$ . Il secondo membro è la costante $2$ , mai negativa, quindi il caso $B < 0$ non si presenta e resta il confronto tra il radicando e il quadrato $4$ . La condizione di esistenza $x + 4 \geq 0$ segue da $x + 4 > 4$ e non va aggiunta. Il controllo con un valore di prova conferma il risultato: per $x = 5$ si ha $9 = 3 > 2$ , mentre per $x = 0$ si ha $4 = 2$ , non maggiore di $2$ .

Esercizio 2

Risolvere la disequazione

x + 2 > x .

La disequazione equivale all’unione di due sistemi:

{x < 0 x + 2 \geq 0 \cup {x \geq 0 x + 2 > x^{2}

Primo sistema.

{x < 0 x \geq - 2

Il sistema dà $- 2 \leq x < 0$ .

Secondo sistema. La disequazione $x^{2} - x - 2 < 0$ si scompone:

{x \geq 0 (x - 2) (x + 1) < 0 {x \geq 0 - 1 < x < 2

Il sistema dà $0 \leq x < 2$ .

L’unione dei due sistemi è la soluzione $- 2 \leq x < 2$ .

Il segno del secondo membro non è noto a priori, quindi si distinguono i due casi. Dove $x < 0$ il secondo membro è negativo e la radice, che non è mai negativa, lo supera in ogni punto in cui esiste; basta allora la condizione di esistenza $x \geq - 2$ . Dove $x \geq 0$ entrambi i membri sono non negativi e si confrontano i quadrati: la disequazione $x^{2} - x - 2 < 0$ è soddisfatta tra le radici $- 1$ e $2$ . I due contributi sono intervalli consecutivi e la loro unione è l’intervallo $- 2 \leq x < 2$ . Il controllo con un valore di prova conferma il risultato: per $x = - 2$ si ha $0 = 0 > - 2$ , per $x = 1$ si ha $3 > 1$ , poiché $3 > 1$ , mentre per $x = 2$ si ha $4 = 2$ , non maggiore di $2$ .

Esercizio 3

Risolvere la disequazione

x^{2} - 4 \geq x - 1.

{x - 1 < 0 x^{2} - 4 \geq 0 \cup {x - 1 \geq 0 x^{2} - 4 \geq (x - 1)^{2}

Primo sistema.

{x < 1 x \leq - 2 \lor x \geq 2

Il sistema dà $x \leq - 2$ .

Secondo sistema.

{x \geq 1 x^{2} - 4 \geq x^{2} - 2 x + 1 {x \geq 1 2 x \geq 5 ⎩ ⎨ ⎧ x \geq 1 x \geq \frac{5}{2}

Il sistema dà $x \geq \frac{5}{2}$ .

L’unione dei due sistemi è la soluzione $x \leq - 2 \lor x \geq \frac{5}{2}$ .

La disuguaglianza è larga, quindi nel secondo sistema il confronto tra radicando e quadrato è anch’esso largo. Nel primo sistema la condizione di esistenza $x^{2} - 4 \geq 0$ è soddisfatta fuori dall’intervallo aperto di estremi $- 2$ e $2$ ; l’intersezione con $x < 1$ lascia la semiretta $x \leq - 2$ . Nel secondo sistema i termini $x^{2}$ si cancellano e resta una disuguaglianza di primo grado, da cui $x \geq \frac{5}{2}$ , che soddisfa anche $x \geq 1$ . Il controllo con valori di prova conferma il risultato: per $x = - 3$ si ha $5 \geq - 4$ , per $x = \frac{5}{2}$ entrambi i membri valgono $\frac{3}{2}$ , mentre per $x = 2$ si ha $0 = 0 < 1$ , e infatti $2$ non appartiene alla soluzione.