Esercizi svolti · Scheda 3

Disequazioni della forma √A < B

Teoria usata: Disequazione della forma √A < B Condizioni di esistenza delle radici di indice pari

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Esercizio 1

Risolvere la disequazione

x - 1 < 2.

La disequazione equivale al sistema

⎩ ⎨ ⎧ x - 1 \geq 0 2 > 0 x - 1 < 4 {x \geq 1 x < 5

La soluzione è $1 \leq x < 5$ .

Il sistema risolutivo contiene la condizione di esistenza $x - 1 \geq 0$ , la positività del secondo membro e il confronto tra il radicando e il quadrato del secondo membro. Il secondo membro è la costante $2$ , positiva, quindi la condizione $2 > 0$ è soddisfatta per ogni $x$ e non taglia nulla. Restano le condizioni $x \geq 1$ e $x < 5$ , che valgono insieme nell’intervallo indicato. Il controllo con un valore di prova conferma il risultato: per $x = 2$ si ha $1 = 1 < 2$ , mentre per $x = 10$ si ha $9 = 3 > 2$ , e infatti $10$ non appartiene alla soluzione.

Esercizio 2

Risolvere la disequazione

x + 6 \leq x .

⎩ ⎨ ⎧ x + 6 \geq 0 x \geq 0 x + 6 \leq x^{2} ⎩ ⎨ ⎧ x \geq - 6 x \geq 0 x^{2} - x - 6 \geq 0

La disequazione di secondo grado si scompone:

(x - 3) (x + 2) \geq 0

x \leq - 2 \lor x \geq 3

L’intersezione con le condizioni $x \geq - 6$ e $x \geq 0$ dà la soluzione $x \geq 3$ .

La disuguaglianza è larga, quindi il secondo membro deve soddisfare $x \geq 0$ e il confronto tra radicando e quadrato è anch’esso largo. La disequazione $x^{2} - x - 6 \geq 0$ ha radici $- 2$ e $3$ ed è soddisfatta fuori dall’intervallo delle radici. Delle tre condizioni, $x \geq 0$ elimina la semiretta $x \leq - 2$ , perciò resta la semiretta $x \geq 3$ , che soddisfa anche $x \geq - 6$ . Il controllo agli estremi e con un valore di prova conferma il risultato: per $x = 3$ si ha $9 = 3 \leq 3$ , mentre per $x = 2$ si ha $8 > 2$ , poiché $8 > 4$ , e infatti $2$ non appartiene alla soluzione.

Esercizio 3

Risolvere la disequazione

2 x + 5 < x + 1.

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 5 \geq 0 x + 1 > 0 2 x + 5 < (x + 1)^{2} ⎩ ⎨ ⎧ x \geq - \frac{5}{2} x > - 1 2 x + 5 < x^{2} + 2 x + 1 ⎩ ⎨ ⎧ x \geq - \frac{5}{2} x > - 1 x^{2} > 4

La condizione $x^{2} > 4$ equivale a $x < - 2 \lor x > 2$ ; l’intersezione con $x > - 1$ dà la soluzione $x > 2$ .

Il secondo membro contiene la variabile, quindi la condizione $x + 1 > 0$ entra nel sistema accanto alla condizione di esistenza. Nello sviluppo di $(x + 1)^{2}$ i termini $2 x$ si cancellano con quelli del primo membro e resta la condizione $x^{2} > 4$ , soddisfatta fuori dall’intervallo chiuso di estremi $- 2$ e $2$ . Poiché la condizione $x > - 1$ esclude la semiretta $x < - 2$ , la soluzione è la semiretta $x > 2$ , che soddisfa anche la condizione di esistenza. Il controllo con un valore di prova conferma il risultato: per $x = 3$ si ha $11 < 4$ , poiché $11 < 16$ , mentre per $x = 2$ si ha $9 = 3$ , non minore di $3$ .