Esercizi svolti · Scheda 5

Equazioni e disequazioni con radici cubiche e miste

Teoria usata: Radici di indice dispari Condizioni di esistenza delle radici di indice pari

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

3 x^{2} - 2 = - 1.

La radice cubica non richiede condizioni, quindi si eleva al cubo:

x^{2} - 2 = (- 1)^{3} = - 1

x^{2} = 1

x = - 1 \lor x = 1

Le soluzioni sono $x = - 1$ e $x = 1$ .

La radice ha indice dispari, quindi è definita per ogni radicando e può valere $- 1$ : il caso del secondo membro negativo, che per la radice quadrata chiude l’esercizio senza soluzioni, qui non crea alcun ostacolo. L’elevamento al cubo conserva l’uguaglianza nei due versi, perché la funzione cubo è crescente su tutto $R$ , e dà $x^{2} = 1$ . Il controllo per sostituzione conferma il risultato: per $x = \pm 1$ il radicando vale $1 - 2 = - 1$ e $3 - 1 = - 1$ .

Esercizio 2

Risolvere la disequazione

3 5 - x \geq 2.

L’elevamento al cubo conserva il verso:

5 - x \geq 2^{3} = 8

- x \geq 3

x \leq - 3

La soluzione è $x \leq - 3$ .

Per le radici di indice dispari non servono né condizioni di esistenza né casi sul segno dei membri: poiché la funzione cubo è crescente, la disuguaglianza tra radice e costante equivale alla disuguaglianza tra radicando e cubo della costante. Nell’ultimo passaggio si moltiplicano entrambi i membri per $- 1$ , quindi il verso della disuguaglianza si rovescia. Il controllo con un valore di prova conferma il risultato: per $x = - 3$ si ha $38 = 2 \geq 2$ , mentre per $x = 0$ si ha $35 < 2$ , poiché $5 < 8$ , e infatti $0$ non appartiene alla soluzione.

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

x = 3 x .

Condizione di esistenza: $x \geq 0$ , imposta dalla radice quadrata. Dove $x \geq 0$ entrambi i membri sono non negativi, quindi l’elevamento alla sesta potenza conserva l’uguaglianza:

(x)^{6} = (3 x)^{6}

x^{3} = x^{2}

x^{2} (x - 1) = 0

x = 0 \lor x = 1

Entrambi i valori soddisfano la condizione $x \geq 0$ . Le soluzioni sono $x = 0$ e $x = 1$ .

Gli indici delle due radici sono diversi, quindi si eleva a una potenza multipla di entrambi: la sesta, che è il minimo comune multiplo di $2$ e $3$ . L’elevamento è lecito perché, sul dominio $x \geq 0$ , la radice quadrata è non negativa per definizione e la radice cubica di un numero non negativo è non negativa. La sesta potenza della radice quadrata è $x^{3}$ e quella della radice cubica è $x^{2}$ ; portando tutto da una parte e raccogliendo $x^{2}$ si trovano le radici $0$ e $1$ . Il controllo per sostituzione conferma il risultato: per $x = 0$ entrambi i membri valgono $0$ , e per $x = 1$ entrambi valgono $1$ .