Teoria

Numeri decimali, proporzioni e percentuali

Che cosa sono i numeri decimali e come si fanno con essi le operazioni e gli arrotondamenti, come si passa da una frazione a un numero decimale e viceversa, che cosa sono rapporti, scale e proporzioni, quando due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali e come si calcolano percentuali, sconti, aumenti e percentuali successive.

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Numeri decimali
Operazioni con i numeri decimali
Arrotondamento
Frazioni e numeri decimali
Rapporti e scale
Proporzioni
Grandezze direttamente e inversamente proporzionali
Percentuali
Sconti, aumenti e percentuali successive

Numeri decimali

Un numero decimale è un numero scritto con una virgola, come $3{,}58$ . Le cifre a sinistra della virgola formano la parte intera; le cifre a destra formano la parte decimale. Nella parte decimale la prima cifra conta i decimi, la seconda i centesimi, la terza i millesimi:

0{,}1 = \frac{1}{10} , \qquad 0{,}01 = \frac{1}{100} , \qquad 0{,}001 = \frac{1}{1000} .

In altre parole, ogni posto verso destra vale un decimo del posto precedente, come accade per unità, decine e centinaia nei numeri naturali. Per esempio

3{,}58 = 3 + \frac{5}{10} + \frac{8}{100} ,

cioè $3$ unità, $5$ decimi e $8$ centesimi. Gli zeri aggiunti in fondo alla parte decimale non cambiano il numero, quindi $2{,}5 = 2{,}50 = 2{,}500$ . I numeri decimali servono a scrivere le quantità che stanno fra due numeri naturali, come un prezzo di $2{,}50$ euro o una lunghezza di $1{,}75$ metri.

Il segmento da

0

1

è diviso in dieci decimi; il numero

0, 3

è il terzo decimo, e

0, 75

sta a metà fra

0, 7

0, 8

Confronto tra numeri decimali

Fra due numeri decimali è maggiore quello con la parte intera maggiore. Se le parti intere sono uguali, si confrontano i decimi; se anche i decimi sono uguali, si confrontano i centesimi, e così via, da sinistra verso destra. Per esempio $4{,}2 > 3{,}9$ , perché $4 > 3$ ; inoltre $2{,}48 < 2{,}5$ , perché le parti intere sono uguali e i decimi sono $4$ contro $5$ . La regola permette di ordinare i numeri decimali e di collocarli sulla retta dei numeri.

Attenzione

Un numero decimale con più cifre dopo la virgola può essere minore di uno con meno cifre. Per esempio $0{,}65 < 0{,}7$ , anche se $65$ è maggiore di $7$ . Scrivendo $0{,}7 = 0{,}70$ i due numeri hanno lo stesso numero di cifre, e il confronto fra $65$ centesimi e $70$ centesimi dà subito il risultato.

Operazioni con i numeri decimali

1. Addizione e sottrazione

Per sommare o sottrarre due numeri decimali si scrivono uno sotto l’altro con le virgole in colonna, così che i decimi stiano sotto i decimi e i centesimi sotto i centesimi. Dove mancano cifre si aggiungono zeri; poi si esegue l’operazione come con i numeri naturali e si mette la virgola nella stessa colonna. Per esempio

\begin{array}{r} 12{,}50 \\ +\ \ 3{,}47 \\ \hline 15{,}97 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r} 8{,}00 \\ -\ \ 2{,}35 \\ \hline 5{,}65 \end{array}

Le virgole in colonna garantiscono che si sommino fra loro cifre dello stesso tipo, come si fa con le unità e le decine.

2. Moltiplicazione

Per moltiplicare due numeri decimali si moltiplicano i numeri senza la virgola. Nel risultato le cifre decimali sono tante quante, in tutto, quelle dei due fattori. Per esempio

2{,}4 \cdot 0{,}15 = 0{,}360 = 0{,}36 ,

perché $24 \cdot 15 = 360$ e i fattori hanno in tutto $1 + 2 = 3$ cifre decimali. Allo stesso modo $0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12$ , perché $4 \cdot 3 = 12$ e servono due cifre decimali.

Dimostrazione

Si scrive ogni fattore come frazione con denominatore $10$ , $100$ o $1000$ . Per il primo esempio

2{,}4 \cdot 0{,}15 = \frac{24}{10} \cdot \frac{15}{100} = \frac{24 \cdot 15}{10 \cdot 100} = \frac{360}{1000} = 0{,}360 .

Il denominatore $1000$ ha tre zeri, uno per la cifra decimale di $2{,}4$ e due per le cifre decimali di $0{,}15$ . Perciò il risultato ha tre cifre decimali.

3. Moltiplicazione e divisione per 10, 100, 1000

Moltiplicare un numero per $10$ , $100$ o $1000$ sposta la virgola di uno, due o tre posti verso destra. Dividerlo per $10$ , $100$ o $1000$ sposta la virgola di uno, due o tre posti verso sinistra. Dove mancano cifre si aggiungono zeri. Per esempio

3{,}25 \cdot 100 = 325 , \qquad 0{,}6 \cdot 1000 = 600 , \qquad \frac{47}{1000} = 0{,}047 .

La regola segue dalla moltiplicazione dei decimali, perché $3{,}25 \cdot 100 = \dfrac{325}{100} \cdot 100 = 325$ . Con questa regola si cambiano le unità di misura; per esempio $1{,}8$ metri sono $1{,}8 \cdot 100 = 180$ centimetri.

4. Divisione

Per dividere due numeri decimali si moltiplicano dividendo e divisore per $10$ , $100$ o $1000$ , fino a rendere il divisore un numero naturale; poi si esegue la divisione. Il quoziente non cambia, per la proprietà invariantiva. Per esempio

\frac{7{,}5}{0{,}25} = \frac{7{,}5 \cdot 100}{0{,}25 \cdot 100} = \frac{750}{25} = 30 , \qquad \frac{1{,}2}{0{,}4} = \frac{12}{4} = 3 .

Nel secondo esempio dividendo e divisore sono stati moltiplicati per $10$ .

Moltiplicare per un numero minore di 1

Se si moltiplica un numero positivo per un decimale compreso fra $0$ e $1$ , il risultato è minore del numero di partenza. Per esempio $8 \cdot 0{,}5 = 4$ , perché moltiplicare per $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$ significa prendere la metà. Se invece si divide per un decimale compreso fra $0$ e $1$ , il risultato è maggiore. Per esempio $\dfrac{8}{0{,}5} = \dfrac{80}{5} = 16$ , perché in $8$ ci sono $16$ mezzi.

Arrotondamento

Arrotondare un numero ai decimi, ai centesimi o a un’altra cifra significa sostituirlo con il numero più vicino che ha cifre soltanto fino a quella posizione. Si guarda la cifra successiva a quella a cui ci si ferma.

Se la cifra successiva è $0$ , $1$ , $2$ , $3$ o $4$ , la cifra a cui ci si ferma resta uguale.
Se la cifra successiva è $5$ , $6$ , $7$ , $8$ o $9$ , la cifra a cui ci si ferma aumenta di $1$ .

In entrambi i casi le cifre successive si eliminano. Per esempio $2{,}64$ arrotondato ai decimi diventa $2{,}6$ , perché la cifra dei centesimi è $4$ , mentre $3{,}85$ diventa $3{,}9$ , perché la cifra dei centesimi è $5$ . Il numero $3{,}85$ sta a metà fra $3{,}8$ e $3{,}9$ , e la regola lo arrotonda a $3{,}9$ . Si arrotonda quando un risultato ha troppe cifre per l’uso che se ne fa; per esempio un prezzo di $12{,}347$ euro si arrotonda ai centesimi e diventa $12{,}35$ euro.

Il numero

2, 64

dista

0, 04

2, 6

0, 06

2, 7

, quindi arrotondato ai decimi diventa

2, 6

Arrotondamenti con il riporto

Il numero $7{,}96$ arrotondato ai decimi diventa $8{,}0$ . La cifra dei centesimi è $6$ , quindi i $9$ decimi diventano $10$ decimi, cioè un’unità in più. Il numero $0{,}4982$ arrotondato ai centesimi diventa $0{,}50$ , per lo stesso motivo. Lo zero finale indica che l’arrotondamento è stato fatto ai centesimi.

Frazioni e numeri decimali

1. Numero decimale di una frazione

Una frazione è il quoziente fra numeratore e denominatore, come si è visto nell’argomento sulle frazioni. Perciò, dividendo il numeratore per il denominatore, si ottiene il numero decimale che corrisponde alla frazione. Per esempio $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ , perché $3$ diviso $4$ dà $0{,}75$ , e $\dfrac{9}{5} = 1{,}8$ . La divisione può avere due esiti.

Il resto a un certo punto è $0$ , e la divisione finisce. Il numero ottenuto si chiama decimale limitato, come $0{,}75$ .
Il resto non è mai $0$ , e da un certo punto le cifre si ripetono sempre uguali. Il numero ottenuto si chiama decimale periodico.

Per esempio $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ , dove la cifra $3$ si ripete senza fine. Il gruppo di cifre che si ripete si chiama periodo e si indica con una linea sopra, quindi $\dfrac{1}{3} = 0{,}\overline{3}$ .

2. Periodici semplici e misti

Un decimale periodico è semplice se il periodo comincia subito dopo la virgola, come $0{,}\overline{3}$ oppure $2{,}\overline{18}$ . È misto se fra la virgola e il periodo ci sono altre cifre, che formano l’antiperiodo. Per esempio

\frac{7}{6} = 1{,}1666\ldots = 1{,}1\overline{6} ,

dove la parte intera è $1$ , l’antiperiodo è $1$ e il periodo è $6$ . La distinzione serve per scrivere la frazione corrispondente al numero periodico.

3. Quando un decimale è limitato

Sia data una frazione ridotta ai minimi termini. Se il denominatore non ha fattori primi diversi da $2$ e da $5$ , il numero decimale è limitato; altrimenti è periodico. Per esempio $\dfrac{7}{20}$ dà un decimale limitato, perché $20 = 2^2 \cdot 5$ , e infatti $\dfrac{7}{20} = 0{,}35$ . Invece $\dfrac{5}{12}$ dà un decimale periodico, perché $12 = 2^2 \cdot 3$ contiene il fattore $3$ , e infatti $\dfrac{5}{12} = 0{,}41\overline{6}$ .

La regola dipende dal fatto che $10 = 2 \cdot 5$ . Quando il denominatore contiene solo i fattori $2$ e $5$ , la frazione si può trasformare in una equivalente con denominatore $10$ , $100$ o $1000$ ; per esempio $\dfrac{7}{20} = \dfrac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \dfrac{35}{100}$ . Con un altro fattore primo al denominatore, come $3$ , questo non è possibile, perché i numeri $10$ , $100$ , $1000, \ldots$ hanno come fattori primi soltanto $2$ e $5$ .

4. Frazione di un decimale limitato

Un decimale limitato è uguale alla frazione che ha al numeratore il numero scritto senza virgola e al denominatore $1$ seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali. Poi la frazione si riduce ai minimi termini. Per esempio

0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} , \qquad 2{,}4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} .

La regola segue dal significato delle cifre, perché $0{,}35$ sono $35$ centesimi e $2{,}4$ sono $24$ decimi.

5. Frazione generatrice di un decimale periodico

Ogni decimale periodico è uguale a una frazione, detta frazione generatrice, che si costruisce così.

Al numeratore si scrive il numero senza virgola fino alla fine del primo periodo, meno il numero formato dalle cifre che vengono prima del periodo.
Al denominatore si scrivono tanti $9$ quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti $0$ quante sono le cifre dell’antiperiodo.

Per esempio

0{,}\overline{45} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11} , \qquad 1{,}2\overline{3} = \frac{123 - 12}{90} = \frac{111}{90} = \frac{37}{30} .

Con la frazione generatrice si fanno i calcoli con i numeri periodici, che non si possono incolonnare perché hanno infinite cifre. Per esempio $0{,}\overline{3} + 0{,}\overline{6} = \dfrac{3}{9} + \dfrac{6}{9} = 1$ .

Dimostrazione

Sia $x = 0{,}\overline{45}$ , cioè $x = 0{,}4545\ldots$ . Il periodo ha due cifre, quindi si moltiplica per $100$ , che sposta la virgola di due posti:

100 \cdot x = 45{,}4545\ldots

I due numeri $100 \cdot x$ e $x$ hanno la stessa parte decimale. Perciò, sottraendo $x$ da $100 \cdot x$ , le cifre decimali si eliminano e resta $99 \cdot x = 45$ , cioè $x = \dfrac{45}{99}$ .

Per $x = 1{,}2\overline{3}$ , cioè $x = 1{,}2333\ldots$ , si sposta prima la virgola dopo l’antiperiodo e poi dopo il periodo:

10 \cdot x = 12{,}333\ldots , \qquad 100 \cdot x = 123{,}333\ldots

Questi due numeri hanno la stessa parte decimale, quindi $100 \cdot x - 10 \cdot x = 123 - 12$ , cioè $90 \cdot x = 111$ . Ne segue $x = \dfrac{111}{90}$ , che è proprio la frazione data dalla regola.

Decimali e numeri razionali

Ogni frazione dà un decimale limitato o periodico, e ogni decimale limitato o periodico è uguale a una frazione. Quindi i numeri razionali $\mathbb{Q}$ , introdotti nell’argomento sulle frazioni, sono esattamente i numeri decimali limitati e periodici. Per esempio $0{,}125 = \dfrac{1}{8}$ e $0{,}\overline{1} = \dfrac{1}{9}$ sono numeri razionali. Nell’argomento sulle potenze e radici compare un numero, $\sqrt{2}$ , che ha infinite cifre decimali senza periodo.

Rapporti e scale

1. Rapporto

Il rapporto fra due numeri $a$ e $b$ , con $b \neq 0$ , è il quoziente $\dfrac{a}{b}$ , che si scrive anche $a : b$ . Il rapporto indica quante volte il primo numero contiene il secondo, oppure quale frazione del secondo è il primo. Per esempio in un gruppo di $12$ adulti e $8$ bambini il rapporto fra adulti e bambini è

\frac{12}{8} = \frac{3}{2} ,

cioè ci sono $3$ adulti ogni $2$ bambini. Il rapporto si può semplificare come una frazione.

Se le due grandezze sono dello stesso tipo, come due lunghezze, prima si scrivono nella stessa unità di misura. Il rapporto fra $30$ cm e $2$ m è $\dfrac{30}{200} = \dfrac{3}{20}$ , perché $2$ m sono $200$ cm. Se le grandezze sono di tipo diverso, il rapporto è una nuova grandezza. Per esempio $150$ km percorsi in $2$ ore danno $\dfrac{150}{2} = 75$ km all’ora, cioè la velocità media.

2. Scala di una carta

La scala di una carta geografica o di un disegno è il rapporto fra una lunghezza sul disegno e la lunghezza vera corrispondente. La scala $1 : 50\,000$ significa che $1$ cm sulla carta corrisponde a $50\,000$ cm nella realtà. Poiché $1$ m $= 100$ cm, si ha

50\,000 \text{ cm} = \frac{50\,000}{100} \text{ m} = 500 \text{ m} .

Due paesi che sulla carta distano $6$ cm sono quindi lontani $6 \cdot 500 = 3000$ m, cioè $3$ km. La scala serve a ricavare le distanze vere da quelle misurate sulla carta, e viceversa.

Proporzioni

1. Proporzione

Una proporzione è un’uguaglianza fra due rapporti:

a : b = c : d ,

che si legge ” $a$ sta a $b$ come $c$ sta a $d$ ”, con $b \neq 0$ e $d \neq 0$ . I numeri $a$ e $d$ si chiamano estremi, i numeri $b$ e $c$ si chiamano medi. Per esempio $2 : 3 = 8 : 12$ è una proporzione, perché $\dfrac{2}{3}$ e $\dfrac{8}{12}$ sono frazioni equivalenti. Gli estremi sono $2$ e $12$ , i medi sono $3$ e $8$ .

2. Proprietà fondamentale delle proporzioni

In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:

a : b = c : d \qquad \text{se e solo se} \qquad a \cdot d = b \cdot c .

Nella proporzione $2 : 3 = 8 : 12$ si ha infatti $2 \cdot 12 = 24$ e $3 \cdot 8 = 24$ . La proprietà permette di controllare se quattro numeri formano una proporzione. Per esempio $3 : 5 = 9 : 16$ non è una proporzione, perché $3 \cdot 16 = 48$ mentre $5 \cdot 9 = 45$ .

Dimostrazione

La proporzione significa che $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ . Si moltiplicano i due membri per $b \cdot d$ . A sinistra il fattore $b$ si semplifica e resta $a \cdot d$ ; a destra il fattore $d$ si semplifica e resta $c \cdot b$ . Quindi $a \cdot d = b \cdot c$ . Con i numeri dell’esempio, moltiplicando $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ per $3 \cdot 12 = 36$ si ottiene $2 \cdot 12 = 8 \cdot 3$ , cioè $24 = 24$ . Viceversa, se $a \cdot d = b \cdot c$ , dividendo i due membri per $b \cdot d$ si ritrova $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ .

3. Termine incognito di una proporzione

Se in una proporzione un termine è sconosciuto, lo si indica con $x$ e lo si trova con la proprietà fondamentale.

Un medio incognito è uguale al prodotto degli estremi diviso per l’altro medio.
Un estremo incognito è uguale al prodotto dei medi diviso per l’altro estremo.

Per esempio nella proporzione $4 : 10 = x : 25$ il termine $x$ è un medio, quindi

x = \frac{4 \cdot 25}{10} = \frac{100}{10} = 10 .

Infatti la proprietà fondamentale dà $4 \cdot 25 = 10 \cdot x$ , e dividendo i due membri per $10$ si ottiene $x = \dfrac{4 \cdot 25}{10}$ . Nella proporzione $1{,}5 : 2 = 6 : x$ il termine $x$ è un estremo, perciò

x = \frac{2 \cdot 6}{1{,}5} = \frac{12}{1{,}5} = \frac{120}{15} = 8 .

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

1. Grandezze direttamente proporzionali

Due grandezze $x$ e $y$ sono direttamente proporzionali se il loro rapporto $\dfrac{y}{x}$ è sempre lo stesso numero $k$ , detto coefficiente di proporzionalità. Allora $y = k \cdot x$ , e quando $x$ raddoppia o triplica anche $y$ raddoppia o triplica. Per esempio, se un quaderno costa $2$ euro, il costo $y$ di $x$ quaderni è $y = 2 \cdot x$ :

quaderni $x$	$1$	$2$	$3$	$4$
costo $y$ in euro	$2$	$4$	$6$	$8$

In ogni colonna il rapporto è $\dfrac{y}{x} = 2$ . Nel piano cartesiano i punti della tabella stanno su una retta che passa per l’origine.

y = 2x

I punti che danno il costo

y

x

quaderni a

2

euro l'uno stanno su una retta che passa per l'origine, perché

\frac{y}{x} = 2

in ogni punto

Attenzione

Due grandezze che aumentano insieme possono non essere direttamente proporzionali. Un taxi chiede $3$ euro alla partenza e $1$ euro per ogni chilometro. Per $2$ km si pagano $3 + 2 = 5$ euro, per $4$ km si pagano $3 + 4 = 7$ euro. I chilometri raddoppiano, ma il prezzo passa da $5$ a $7$ euro e non raddoppia; infatti i rapporti $\dfrac{5}{2}$ e $\dfrac{7}{4}$ sono diversi.

2. Grandezze inversamente proporzionali

Due grandezze $x$ e $y$ sono inversamente proporzionali se il loro prodotto $x \cdot y$ è sempre lo stesso numero $k$ . Allora $y = \dfrac{k}{x}$ , e quando $x$ raddoppia $y$ diventa la metà. Per esempio, per percorrere $120$ km il tempo $y$ in ore e la velocità $x$ in km all’ora sono legati da $x \cdot y = 120$ :

velocità $x$ in km all’ora	$30$	$40$	$60$	$120$
tempo $y$ in ore	$4$	$3$	$2$	$1$

In ogni colonna il prodotto è $120$ . I punti della tabella stanno su una curva chiamata ramo di iperbole, che si avvicina agli assi senza toccarli.

y = \dfrac{120}{x}

I punti che danno il tempo

y

per percorrere

120

km alla velocità

x

stanno su un ramo di iperbole, perché

x \cdot y = 120

in ogni punto

Regola del tre

Quando due grandezze sono proporzionali e si conoscono una coppia di valori e un terzo valore, il quarto valore si trova con una proporzione. Questo metodo si chiama regola del tre.

Grandezze direttamente proporzionali: $3$ kg di arance costano $4{,}50$ euro, quindi il costo $x$ di $5$ kg soddisfa $3 : 4{,}50 = 5 : x$ . Si ottiene $x = \dfrac{4{,}50 \cdot 5}{3} = \dfrac{22{,}50}{3} = 7{,}50$ euro.
Grandezze inversamente proporzionali: $4$ amici si dividono una spesa e pagano $15$ euro a testa, quindi con $6$ amici la quota $x$ soddisfa $6 \cdot x = 4 \cdot 15$ , perché il totale è lo stesso. Si ottiene $x = \dfrac{60}{6} = 10$ euro.

Il tipo di proporzionalità si stabilisce osservando che cosa accade a una grandezza quando l’altra raddoppia. Con più amici la quota a testa diminuisce, quindi le due grandezze sono inversamente proporzionali.

Percentuali

1. Percentuale

Una percentuale è una frazione con denominatore $100$ , scritta con il simbolo $\%$ , che si legge “per cento”. Quindi

25\% = \frac{25}{100} = 0{,}25 , \qquad 5\% = \frac{5}{100} = 0{,}05 , \qquad 150\% = \frac{150}{100} = 1{,}5 .

In altre parole, il $25\%$ significa $25$ parti su $100$ . Si usano le percentuali per confrontare quantità prese da totali diversi, perché ogni totale viene pensato diviso in $100$ parti. Alcune percentuali corrispondono a frazioni semplici: $50\% = \dfrac{1}{2}$ , $25\% = \dfrac{1}{4}$ , $20\% = \dfrac{1}{5}$ , $10\% = \dfrac{1}{10}$ .

Il quadrato è diviso in

100

quadretti uguali; i

25

quadretti colorati sono il

25%

del quadrato, cioè

\frac{25}{100} = \frac{1}{4}

2. Percentuale di un numero

Il $p\%$ di un numero $N$ si calcola moltiplicando $N$ per la frazione $\dfrac{p}{100}$ :

\frac{p}{100} \cdot N .

Per esempio il $15\%$ di $80$ è $\dfrac{15}{100} \cdot 80 = \dfrac{1200}{100} = 12$ . In modo equivalente si moltiplica per il numero decimale, $0{,}15 \cdot 80 = 12$ . Il $10\%$ di un numero si ottiene spostando la virgola di un posto a sinistra, quindi il $10\%$ di $345$ è $34{,}5$ . Il $20\%$ ne è il doppio, cioè $69$ .

Parte, percentuale e totale

In un calcolo con le percentuali compaiono tre numeri: il totale $N$ , la percentuale $p\%$ e la parte $P$ . Fra loro vale la proporzione

P : N = p : 100 ,

perché la parte sta al totale come $p$ sta a $100$ . Conoscendo due dei tre numeri, il terzo si trova con il termine incognito della proporzione.

La parte: il $30\%$ di $250$ è $P = \dfrac{30 \cdot 250}{100} = 75$ .
La percentuale: $18$ su $72$ è il $p\%$ con $p = \dfrac{18 \cdot 100}{72} = 25$ , cioè il $25\%$ .
Il totale: se $12$ è il $40\%$ di un numero $N$ , allora $N = \dfrac{12 \cdot 100}{40} = 30$ .

Sconti, aumenti e percentuali successive

1. Aumenti e sconti percentuali

Un aumento del $p\%$ moltiplica il valore $V$ per $1 + \dfrac{p}{100}$ ; uno sconto del $p\%$ lo moltiplica per $1 - \dfrac{p}{100}$ :

V \cdot \left( 1 + \frac{p}{100} \right) , \qquad V \cdot \left( 1 - \frac{p}{100} \right) .

Il numero per cui si moltiplica si chiama fattore moltiplicativo. Per esempio un prezzo di $80$ euro aumentato del $15\%$ diventa $80 \cdot 1{,}15 = 92$ euro, e un prezzo di $45$ euro scontato del $20\%$ diventa $45 \cdot 0{,}8 = 36$ euro.

La regola viene dalla proprietà distributiva. Aumentare $80$ del $15\%$ significa aggiungere a $80$ il $15\%$ di $80$ , cioè calcolare $80 + 0{,}15 \cdot 80$ . Poiché $80 = 80 \cdot 1$ , per la proprietà distributiva questa somma è uguale a $80 \cdot (1 + 0{,}15) = 80 \cdot 1{,}15$ . Per lo sconto il ragionamento è lo stesso, con la sottrazione al posto della somma.

Dal prezzo scontato al prezzo iniziale

Un paio di scarpe scontato del $20\%$ costa $64$ euro. Il prezzo scontato è il prezzo iniziale $V$ moltiplicato per $0{,}8$ , quindi $V \cdot 0{,}8 = 64$ . Perciò il prezzo iniziale si trova dividendo per il fattore moltiplicativo:

V = \frac{64}{0{,}8} = \frac{640}{8} = 80 \text{ euro} .

Il risultato è corretto, perché il $20\%$ di $80$ è $16$ e $80 - 16 = 64$ .

2. Variazione percentuale

Quando una grandezza passa da un valore iniziale $V_1$ , diverso da $0$ , a un valore finale $V_2$ , la sua variazione percentuale è

\frac{V_2 - V_1}{V_1} \cdot 100 .

La differenza si divide per il valore iniziale. Il risultato è positivo per un aumento e negativo per una diminuzione. Per esempio una bolletta che passa da $40$ a $46$ euro aumenta del $15\%$ , perché $\dfrac{6}{40} \cdot 100 = 15$ . Un prezzo che scende da $64$ a $48$ euro ha variazione $-25\%$ , perché $\dfrac{-16}{64} \cdot 100 = -25$ ; quindi il prezzo diminuisce del $25\%$ .

3. Percentuali successive

Se un valore subisce due variazioni percentuali una dopo l’altra, il valore finale si ottiene moltiplicando il valore iniziale per i due fattori moltiplicativi. Infatti la seconda variazione si calcola sul valore già cambiato dalla prima. Per esempio un prezzo di $100$ euro scontato prima del $20\%$ e poi del $10\%$ diventa

100 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}9 = 80 \cdot 0{,}9 = 72 \text{ euro} .

Il fattore complessivo è $0{,}8 \cdot 0{,}9 = 0{,}72$ , quindi lo sconto complessivo è del $28\%$ .

Uno sconto del

20%

porta

100

euro a

80

euro; il successivo sconto del

10%

si calcola su

80

euro e porta il prezzo a

72

euro

Attenzione

Due percentuali successive non si sommano. Nell’esempio dei due sconti la somma $20\% + 10\% = 30\%$ darebbe un prezzo finale di $70$ euro, mentre il prezzo vero è $72$ euro, perché il $10\%$ è calcolato su $80$ euro e vale $8$ euro. Per lo stesso motivo un aumento e uno sconto della stessa percentuale non si compensano. Per esempio $100$ euro aumentati del $10\%$ diventano $110$ euro, e scontati poi del $10\%$ diventano $110 \cdot 0{,}9 = 99$ euro.

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