Esercizi svolti · Scheda 8

Problemi con sconti, aumenti e percentuali successive

Teoria usata: Aumenti e sconti percentuali Variazione percentuale Percentuali successive

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Esercizio 1

Un giubbotto costa $120$ euro ed è in vendita con lo sconto del $25\%$ . Calcola il prezzo scontato.

1 - \frac{25}{100} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75

120 \cdot 0{,}75 = 90 \text{ euro}

Uno sconto del $25\%$ moltiplica il prezzo per il fattore moltiplicativo $1 - 0{,}25 = 0{,}75$ . Poiché $0{,}75 = \dfrac{3}{4}$ , il prodotto $120 \cdot 0{,}75$ è uguale ai tre quarti di $120$ . Un quarto di $120$ è $30$ , quindi tre quarti sono $90$ .

Lo stesso risultato si ottiene calcolando lo sconto e sottraendolo. Il $25\%$ di $120$ è $\dfrac{25 \cdot 120}{100} = 30$ euro, e $120 - 30 = 90$ . Il prezzo scontato è $90$ euro.

Esercizio 2

Una bolletta passa da $75$ euro a $84$ euro. Calcola l’aumento percentuale.

84 - 75 = 9

\frac{9}{75} \cdot 100 = \frac{900}{75} = 12

La variazione percentuale si ottiene dividendo la differenza fra valore finale e valore iniziale per il valore iniziale, e moltiplicando per $100$ . La differenza è $84 - 75 = 9$ euro, e il valore iniziale è $75$ euro.

Il quoziente $\dfrac{900}{75}$ vale $12$ , perché $75 \cdot 12 = 900$ . La variazione è positiva, quindi la bolletta è aumentata del $12\%$ . Per controllo, il $12\%$ di $75$ è $\dfrac{12 \cdot 75}{100} = 9$ , e $75 + 9 = 84$ .

Esercizio 3

Il prezzo di un abbonamento, aumentato del $10\%$ , è diventato $77$ euro. Calcola il prezzo prima dell’aumento.

V \cdot 1{,}1 = 77

V = \frac{77}{1{,}1} = \frac{770}{11} = 70 \text{ euro}

Un aumento del $10\%$ moltiplica il prezzo iniziale $V$ per il fattore $1 + 0{,}1 = 1{,}1$ . Il prezzo finale è quindi $V \cdot 1{,}1 = 77$ , perciò $V$ si trova dividendo $77$ per $1{,}1$ .

Per la divisione fra decimali si moltiplicano dividendo e divisore per $10$ , e si ottiene $\dfrac{770}{11} = 70$ . Il prezzo iniziale era $70$ euro. Il controllo conferma il risultato, perché il $10\%$ di $70$ è $7$ e $70 + 7 = 77$ .

Togliendo invece il $10\%$ da $77$ euro si ottiene $77 - 7{,}70 = 69{,}30$ euro, che non è il prezzo iniziale. Il motivo è che l’aumento del $10\%$ era calcolato su $70$ euro, mentre il $10\%$ di $77$ euro è una quantità maggiore.

Esercizio 4

Un televisore costa $500$ euro. Il negozio applica uno sconto del $20\%$ e poi, sul prezzo già scontato, un ulteriore sconto del $15\%$ . Calcola il prezzo finale e lo sconto complessivo in percentuale.

500 \cdot 0{,}8 = 400 \text{ euro}

400 \cdot 0{,}85 = 340 \text{ euro}

0{,}8 \cdot 0{,}85 = 0{,}68 \qquad 1 - 0{,}68 = 0{,}32 = 32\%

Le due variazioni sono percentuali successive, quindi il prezzo si moltiplica per un fattore e poi per l’altro. Il primo sconto ha fattore $1 - 0{,}20 = 0{,}8$ e porta il prezzo a $500 \cdot 0{,}8 = 400$ euro. Il secondo sconto ha fattore $1 - 0{,}15 = 0{,}85$ e si calcola su $400$ euro. Il $15\%$ di $400$ è $60$ euro, quindi il prezzo finale è $400 - 60 = 340$ euro.

Il fattore complessivo è il prodotto dei due fattori. Poiché $8 \cdot 85 = 680$ e i fattori hanno in tutto tre cifre decimali, il prodotto è $0{,}680 = 0{,}68$ . Il prezzo finale è quindi il $68\%$ del prezzo iniziale, e lo sconto complessivo è $100\% - 68\% = 32\%$ . Infatti il $32\%$ di $500$ è $160$ euro, e $500 - 160 = 340$ .

Lo sconto complessivo è del $32\%$ , minore della somma $20\% + 15\% = 35\%$ , perché il secondo sconto si applica a un prezzo già ridotto.