Teoria

Disequazioni di primo grado

Che cosa sono le disuguaglianze e le disequazioni, come si scrivono le soluzioni sulla retta e con gli intervalli, come si risolvono le disequazioni di primo grado, i sistemi, le disequazioni con un prodotto o un quoziente e i problemi del tipo "da quanti in poi".

In questa pagina

Disuguaglianze e loro proprietà
Disequazioni e intervalli
Principi di equivalenza
Disequazioni intere di primo grado
Disequazioni sempre verificate e mai verificate
Sistemi di disequazioni
Segno di un prodotto e disequazioni fratte
Problemi con le disequazioni

Disuguaglianze e loro proprietà

1. Disuguaglianza

Una disuguaglianza è una scrittura che confronta due numeri e dice quale dei due è il più piccolo. Si usano quattro simboli:

$a < b$ si legge ” $a$ è minore di $b$ ”;
$a > b$ si legge ” $a$ è maggiore di $b$ ”;
$a \leq b$ si legge ” $a$ è minore o uguale a $b$ ”, cioè $a < b$ oppure $a = b$ ;
$a \geq b$ si legge ” $a$ è maggiore o uguale a $b$ ”, cioè $a > b$ oppure $a = b$ .

La punta del simbolo è rivolta verso il numero più piccolo, e la direzione del simbolo si chiama verso della disuguaglianza. Per esempio $3 < 7$ e $7 > 3$ dicono la stessa cosa. La scrittura $4 \leq 4$ è vera, perché $4 = 4$ , mentre $4 < 4$ è falsa.

Il numero $a$ è minore di $b$ esattamente quando la differenza $b - a$ è un numero positivo. Per esempio $2 < 5$ , perché $5 - 2 = 3$ è positivo, e $-5 < -2$ , perché $-2 - (-5) = -2 + 5 = 3$ è positivo. Questa lettura con la differenza permette di giustificare le proprietà delle disuguaglianze.

L'ordine sulla retta

Sulla retta orientata dei numeri, vista nell’argomento sui numeri relativi, il verso della freccia va da sinistra a destra. Dati due numeri, il maggiore è quello che si trova più a destra. Perciò ogni numero negativo è minore di ogni numero positivo, e tra due numeri negativi il maggiore è quello più vicino a zero. Per esempio $-2 > -5$ , come una temperatura di $-2$ gradi è più alta di una temperatura di $-5$ gradi.

Sulla retta orientata il numero più a destra è il maggiore, quindi

- 5 < - 2 < 2 < 5

2. Proprietà delle disuguaglianze

Siano $a$ e $b$ due numeri con $a < b$ , e sia $c$ un numero qualsiasi.

Sommando o sottraendo $c$ a entrambi i numeri, il verso resta lo stesso: $a + c < b + c$ e $a - c < b - c$ . Per esempio da $2 < 5$ si ottiene $2 + 10 < 5 + 10$ , cioè $12 < 15$ .
Se $c$ è positivo, moltiplicando o dividendo entrambi i numeri per $c$ il verso resta lo stesso: $a \cdot c < b \cdot c$ . Per esempio da $2 < 5$ , moltiplicando per $3$ , si ottiene $6 < 15$ .
Se $c$ è negativo, moltiplicando o dividendo entrambi i numeri per $c$ il verso si inverte: $a \cdot c > b \cdot c$ . Per esempio da $2 < 5$ , moltiplicando per $-3$ , si ottiene $-6 > -15$ .

Le stesse proprietà valgono per i simboli $>$ , $\leq$ e $\geq$ . Invertire il verso vuol dire scambiare $<$ con $>$ e $\leq$ con $\geq$ . Su queste proprietà si basano tutti i calcoli con le disequazioni.

Dimostrazione

L’idea è guardare la differenza tra il numero più grande e il più piccolo. Poiché $a < b$ , la differenza $b - a$ è positiva.

Per la somma si calcola $(b + c) - (a + c) = b - a$ . Questa differenza è positiva, quindi $a + c < b + c$ . Con i numeri, $(5 + 10) - (2 + 10) = 15 - 12 = 3$ , che è proprio $5 - 2$ .

Per il prodotto si calcola $b \cdot c - a \cdot c = c \cdot (b - a)$ , raccogliendo $c$ con la proprietà distributiva. Il fattore $b - a$ è positivo.

Se $c$ è positivo, il prodotto $c \cdot (b - a)$ ha due fattori positivi ed è positivo per la regola dei segni. Quindi $a \cdot c < b \cdot c$ . Con $a = 2$ , $b = 5$ e $c = 3$ si ha $15 - 6 = 9 = 3 \cdot 3$ , positivo.
Se $c$ è negativo, il prodotto $c \cdot (b - a)$ ha un fattore negativo e uno positivo, ed è negativo per la regola dei segni. La differenza $b \cdot c - a \cdot c$ è quindi negativa, perciò $b \cdot c < a \cdot c$ , cioè $a \cdot c > b \cdot c$ . Con $a = 2$ , $b = 5$ e $c = -3$ si ha $-15 - (-6) = -9 = -3 \cdot 3$ , negativo.

Dividere per $c$ è come moltiplicare per il reciproco $\dfrac{1}{c}$ , che ha lo stesso segno di $c$ , quindi per la divisione valgono le stesse conclusioni.

Attenzione

Moltiplicando per un numero negativo, il verso va invertito. Da $2 < 5$ , moltiplicando per $-1$ e lasciando il verso com’è, si scriverebbe $-2 < -5$ , che è falso. Infatti sulla retta $-2$ sta a destra di $-5$ , quindi $-2 > -5$ .

Disequazioni e intervalli

1. Disequazione e soluzioni

Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni che contengono un numero sconosciuto, l’incognita $x$ . Come nelle equazioni, l’espressione a sinistra del simbolo si chiama primo membro e quella a destra secondo membro. Una soluzione della disequazione è un numero che, messo al posto di $x$ , rende vera la disuguaglianza. Risolvere una disequazione vuol dire trovare tutte le sue soluzioni.

Per esempio in $2x - 1 > 5$ si provano alcuni valori.

Con $x = 4$ si ottiene $2 \cdot 4 - 1 = 7$ , e $7 > 5$ è vera, quindi $4$ è una soluzione.
Con $x = 3$ si ottiene $2 \cdot 3 - 1 = 5$ , e $5 > 5$ è falsa, quindi $3$ è escluso.
Con $x = 0$ si ottiene $-1$ , e $-1 > 5$ è falsa.

Le soluzioni sono tutti i numeri maggiori di $3$ , anche quelli con la virgola come $3{,}1$ o $3{,}001$ . Si scrive che le soluzioni sono $x > 3$ . A differenza di un’equazione di primo grado, che ha di solito una sola soluzione, una disequazione ha di solito infinite soluzioni.

2. Intervalli

L’insieme delle soluzioni di una disequazione è quasi sempre un intervallo, cioè un tratto della retta dei numeri. Un intervallo si indica con i suoi due estremi, scritti tra parentesi.

La parentesi quadra indica che l’estremo fa parte dell’intervallo (estremo incluso); sulla retta si disegna un pallino pieno.
La parentesi tonda indica che l’estremo è escluso; sulla retta si disegna un pallino vuoto.
Il simbolo $+\infty$ , che si legge “più infinito”, indica che l’intervallo prosegue verso destra senza fine. Il simbolo $-\infty$ , “meno infinito”, indica che prosegue verso sinistra. Questi simboli indicano una direzione e non sono numeri, perciò accanto a loro la parentesi è sempre tonda.

disuguaglianza	intervallo
$x > a$	$(a, +\infty)$
$x \geq a$	$[a, +\infty)$
$x < a$	$(-\infty, a)$
$x \leq a$	$(-\infty, a]$
$a < x < b$	$(a, b)$
$a \leq x \leq b$	$[a, b]$
$a < x \leq b$	$(a, b]$

Per esempio le soluzioni di $2x - 1 > 5$ sono $x > 3$ , cioè l’intervallo $(3, +\infty)$ . La scrittura $-1 < x \leq 3$ si chiama doppia disuguaglianza e indica i numeri che sono contemporaneamente maggiori di $-1$ e minori o uguali a $3$ .

Intervalli sulla retta

Le soluzioni $x > 2$ formano l’intervallo $(2, +\infty)$ . Sulla retta si colora la parte a destra di $2$ , e il numero $2$ ha un pallino vuoto perché $2 > 2$ è falsa.

Le soluzioni di

x > 2

formano l'intervallo

(2, + \infty)

; il pallino vuoto indica che

2

è escluso

La doppia disuguaglianza $-1 < x \leq 3$ corrisponde all’intervallo $(-1, 3]$ . Il numero $-1$ è escluso e il numero $3$ è incluso. Per esempio $0$ e $2{,}5$ appartengono all’intervallo, mentre $-1$ e $4$ sono fuori.

L'intervallo

(- 1, 3]

contiene i numeri compresi tra

- 1

, escluso, e

3

, incluso

Principi di equivalenza

1. Disequazioni equivalenti

Due disequazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Per esempio $2x > 6$ e $x > 3$ sono equivalenti. Per risolvere una disequazione la si trasforma in disequazioni equivalenti sempre più semplici, fino ad arrivare a una scrittura come $x > 3$ , in cui le soluzioni si leggono subito.

2. Principi di equivalenza delle disequazioni

Primo principio. Sommando o sottraendo ai due membri lo stesso numero o la stessa espressione si ottiene una disequazione equivalente, con lo stesso verso. Ne segue che un termine si può trasportare da un membro all’altro cambiandogli il segno.
Secondo principio. Moltiplicando o dividendo i due membri per lo stesso numero positivo si ottiene una disequazione equivalente con lo stesso verso. Moltiplicando o dividendo per lo stesso numero negativo si ottiene una disequazione equivalente con il verso invertito.

I due principi seguono dalle proprietà delle disuguaglianze, perché per ogni valore di $x$ i due membri sono numeri. Rispetto ai principi delle equazioni, la differenza riguarda solo il segno del numero per cui si moltiplica.

Per esempio in $x + 7 < 3$ si trasporta $7$ al secondo membro e si ottiene $x < 3 - 7$ , cioè $x < -4$ . In $-2x < 8$ si dividono i due membri per $-2$ , che è negativo, quindi il verso si inverte e si ottiene $x > -4$ .

Controllo con un numero

Le soluzioni di $-2x < 8$ sono $x > -4$ , cioè l’intervallo $(-4, +\infty)$ . Il numero $0$ appartiene all’intervallo, e infatti $-2 \cdot 0 = 0$ e $0 < 8$ è vera. Il numero $-5$ è fuori dall’intervallo, e infatti $-2 \cdot (-5) = 10$ e $10 < 8$ è falsa. Provare un numero dentro l’intervallo e uno fuori è un controllo rapido del verso.

Attenzione

Dividendo $-2x < 8$ per $-2$ senza invertire il verso si scriverebbe $x < -4$ , che è sbagliato. Il numero $-5$ soddisfa $x < -4$ , ma con $x = -5$ la disequazione di partenza diventa $10 < 8$ , che è falsa.

Disequazioni intere di primo grado

Disequazione intera di primo grado

Una disequazione è intera se l’incognita non compare in nessun denominatore. È di primo grado se, dopo aver svolto i calcoli e trasportato i termini, si può scrivere nella forma

a x > b ,

oppure con $<$ , $\geq$ , $\leq$ , dove $a$ e $b$ sono numeri e $a$ è diverso da zero. Il numero $a$ si chiama coefficiente di $x$ . Per esempio $3x - 5 < x + 1$ diventa $2x < 6$ , con $a = 2$ e $b = 6$ , e le sue soluzioni sono $x < 3$ .

Come si risolve

Una disequazione intera di primo grado si risolve con questi passaggi, ciascuno dei quali dà una disequazione equivalente.

Si svolgono i prodotti, con la proprietà distributiva e i prodotti notevoli.
Se ci sono frazioni con numeri al denominatore, si moltiplicano i due membri per il minimo comune multiplo dei denominatori. Questo numero è positivo, quindi il verso resta lo stesso.
Si trasportano i termini con la $x$ al primo membro e i numeri al secondo, cambiando loro il segno.
Si sommano i termini simili e si arriva a $a x > b$ .
Si dividono i due membri per $a$ . Se $a$ è positivo il verso resta lo stesso; se $a$ è negativo il verso si inverte.

Alla fine si scrivono le soluzioni con la disuguaglianza e con l’intervallo.

Due disequazioni con prodotti

Si risolve $3(x - 1) > x + 5$ . Svolgendo il prodotto si ottiene $3x - 3 > x + 5$ . Trasportando $x$ al primo membro e $-3$ al secondo si ottiene $3x - x > 5 + 3$ , cioè $2x > 8$ . Il coefficiente $2$ è positivo, quindi dividendo per $2$ il verso resta lo stesso, e le soluzioni sono $x > 4$ , cioè $(4, +\infty)$ .

Si risolve $5 - 3x \geq x - 7$ . Trasportando si ottiene $-3x - x \geq -7 - 5$ , cioè $-4x \geq -12$ . Il coefficiente $-4$ è negativo, quindi dividendo per $-4$ il verso si inverte:

x \leq \frac{-12}{-4} , \qquad \text{cioè} \qquad x \leq 3 .

Le soluzioni sono $x \leq 3$ , cioè l’intervallo $(-\infty, 3]$ . Per controllo, con $x = 3$ i due membri valgono $5 - 9 = -4$ e $3 - 7 = -4$ , e $-4 \geq -4$ è vera.

Una disequazione con le frazioni

Si risolve

\frac{x}{3} - \frac{x - 1}{2} < \frac{1}{6} .

Il minimo comune multiplo dei denominatori $3$ , $2$ e $6$ è $6$ . Si moltiplicano i due membri per $6$ , che è positivo, e il verso resta lo stesso:

\begin{aligned} 6 \cdot \frac{x}{3} - 6 \cdot \frac{x - 1}{2} &< 6 \cdot \frac{1}{6} \\[6pt] 2x - 3(x - 1) &< 1 \\[6pt] 2x - 3x + 3 &< 1 \\[6pt] -x &< -2 . \end{aligned}

Moltiplicando per $-1$ il verso si inverte, quindi le soluzioni sono $x > 2$ , cioè $(2, +\infty)$ .

Attenzione

Il segno meno davanti a una frazione cambia il segno di tutti i termini del suo numeratore. Nell’esempio, $-3(x - 1)$ è uguale a $-3x + 3$ . Scrivendo $-3x - 3$ si arriverebbe a $-x < 4$ , cioè $x > -4$ , che è sbagliato. Infatti $0$ soddisfa $x > -4$ , ma con $x = 0$ il primo membro della disequazione di partenza vale $0 - \dfrac{-1}{2} = \dfrac{1}{2}$ , e $\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{6}$ è falsa.

Disequazioni sempre verificate e mai verificate

Disequazioni con coefficiente nullo

A volte i termini con la $x$ si cancellano e la disequazione diventa $0 \cdot x > b$ , oppure con $<$ , $\geq$ , $\leq$ . Il primo membro vale $0$ per ogni valore di $x$ , quindi resta un confronto tra due numeri.

Se il confronto è vero, ogni numero è soluzione. La disequazione si dice sempre verificata e le sue soluzioni sono tutti i numeri reali, cioè l’insieme $\mathbb{R}$ .
Se il confronto è falso, nessun numero è soluzione. La disequazione si dice mai verificata e l’insieme delle soluzioni è l’insieme vuoto, che si indica con $\emptyset$ .

Per esempio $0 \cdot x > -5$ è sempre verificata, perché $0 > -5$ è vera; $0 \cdot x < -5$ non è mai verificata, perché $0 < -5$ è falsa. Questi casi corrispondono alle equazioni indeterminate e impossibili viste nell’argomento sulle equazioni di primo grado.

Tre casi a confronto

In $2(x + 3) > 2x + 1$ si svolge il prodotto e si ottiene $2x + 6 > 2x + 1$ . Trasportando, $2x - 2x > 1 - 6$ , cioè $0 \cdot x > -5$ . Il confronto $0 > -5$ è vero, quindi la disequazione è sempre verificata. In effetti il primo membro supera il secondo di $5$ per ogni $x$ .

In $3x - 2(x - 1) \geq x + 2$ il primo membro diventa $3x - 2x + 2 = x + 2$ , quindi la disequazione è $x + 2 \geq x + 2$ , cioè $0 \cdot x \geq 0$ . Il confronto $0 \geq 0$ è vero, quindi la disequazione è sempre verificata.

Con il simbolo $>$ al posto di $\geq$ , la disequazione $3x - 2(x - 1) > x + 2$ diventa $0 \cdot x > 0$ . Il confronto $0 > 0$ è falso, quindi la disequazione non è mai verificata e l’insieme delle soluzioni è $\emptyset$ .

Sistemi di disequazioni

Sistema di disequazioni

Un sistema di disequazioni è un gruppo di due o più disequazioni nella stessa incognita che devono essere soddisfatte insieme. Si scrive con una graffa:

\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 2x \leq 10 \end{cases}

Le soluzioni del sistema sono i numeri che soddisfano tutte le disequazioni. Per esempio $3$ è una soluzione, perché $3 - 2 = 1 > 0$ e $2 \cdot 3 = 6 \leq 10$ . Il numero $7$ soddisfa la prima disequazione e rende falsa la seconda, perché $14 \leq 10$ è falsa, quindi è escluso. I sistemi servono quando un problema pone più condizioni contemporaneamente, per esempio una spesa che deve superare una soglia e restare entro un budget.

Lo schema del sistema

Per risolvere un sistema si risolve ogni disequazione da sola e poi si cercano i numeri comuni. Nel sistema precedente la prima disequazione dà $x > 2$ e la seconda, dividendo per $2$ , dà $x \leq 5$ . Nello schema si disegna sopra la retta una linea per ogni disequazione, ciascuna nel tratto delle sue soluzioni. Le soluzioni del sistema sono il tratto in cui sono presenti tutte le linee, quindi $2 < x \leq 5$ , cioè l’intervallo $(2, 5]$ .

Nello schema del sistema le soluzioni di

x > 2

e quelle di

x \leq 5

hanno in comune l'intervallo

(2, 5]

Un sistema senza soluzioni

Nel sistema

\begin{cases} x > 4 \\ x < 2 \end{cases}

le soluzioni della prima disequazione sono i numeri a destra di $4$ e quelle della seconda sono i numeri a sinistra di $2$ . Nello schema le due linee non si sovrappongono in nessun tratto, quindi il sistema non ha soluzioni, e l’insieme delle soluzioni è $\emptyset$ .

Le soluzioni di

x > 4

e quelle di

x < 2

non hanno numeri in comune, quindi il sistema non ha soluzioni

Lo stesso accade quando una delle disequazioni non è mai verificata. Se invece una disequazione è sempre verificata, ogni numero la soddisfa, quindi le soluzioni del sistema sono quelle delle altre disequazioni.

Segno di un prodotto e disequazioni fratte

1. Segno di un'espressione di primo grado

Un’espressione come $2x - 6$ cambia segno in un solo punto, quello in cui vale zero. I numeri per cui è positiva sono le soluzioni della disequazione $2x - 6 > 0$ , cioè $x > 3$ . Quindi $2x - 6$ è:

positiva per $x > 3$ , per esempio con $x = 4$ vale $2$ ;
uguale a zero per $x = 3$ ;
negativa per $x < 3$ , per esempio con $x = 0$ vale $-6$ .

Allo stesso modo $4 - 2x > 0$ dà $-2x > -4$ , cioè $x < 2$ , quindi $4 - 2x$ è positiva per $x < 2$ e negativa per $x > 2$ . Quando il coefficiente di $x$ è negativo, l’espressione è positiva a sinistra del numero in cui vale zero.

2. Segno di un prodotto di due fattori

Per la regola dei segni, il prodotto di due fattori è:

positivo quando i due fattori hanno lo stesso segno;
negativo quando i due fattori hanno segni diversi;
uguale a zero quando almeno uno dei due fattori vale zero.

Questa regola permette di risolvere disequazioni come $(x - 1)(x + 3) > 0$ senza svolgere il prodotto. Per esempio con $x = 2$ i fattori valgono $1$ e $5$ , che sono positivi, e il prodotto $5$ è positivo; con $x = 0$ i fattori valgono $-1$ e $3$ , e il prodotto $-3$ è negativo.

3. Schema dei segni

Lo schema dei segni è una tabella che riporta il segno di ogni fattore e del prodotto. Si trovano i numeri in cui ogni fattore vale zero; questi numeri dividono la retta in tratti. Nella tabella c’è una riga per ogni fattore e una colonna per ogni tratto, e nell’ultima riga c’è il segno del prodotto, ottenuto con la regola dei segni.

Per $(x - 1)(x + 3) > 0$ il fattore $x - 1$ è positivo per $x > 1$ e il fattore $x + 3$ è positivo per $x > -3$ . I numeri $-3$ e $1$ dividono la retta in tre tratti:

\begin{array}{c|ccc} & x < -3 & -3 < x < 1 & x > 1 \\ \hline x - 1 & - & - & + \\ x + 3 & - & + & + \\ \hline (x - 1)(x + 3) & + & - & + \end{array}

Il prodotto è positivo nel primo e nel terzo tratto, quindi le soluzioni sono $x < -3$ oppure $x > 1$ . Il simbolo è $>$ , perciò i numeri $-3$ e $1$ , dove il prodotto vale zero, sono esclusi. Con il simbolo $\geq$ sarebbero stati inclusi.

Le soluzioni di

(x - 1) (x + 3) > 0

sono

x < - 3

oppure

x > 1

; i numeri

- 3

1

sono esclusi

4. Disequazione fratta

Una disequazione è fratta se l’incognita compare al denominatore, come in

\frac{x - 2}{x + 1} \geq 0 .

Una frazione ha senso solo se il denominatore è diverso da zero. La condizione di esistenza è quindi $x + 1 \neq 0$ , cioè $x \neq -1$ . Il segno di un quoziente segue la stessa regola dei segni del prodotto, perciò si usa lo schema dei segni con una riga per il numeratore e una per il denominatore.

Il numeratore $x - 2$ è positivo per $x > 2$ e il denominatore $x + 1$ è positivo per $x > -1$ :

\begin{array}{c|ccc} & x < -1 & -1 < x < 2 & x > 2 \\ \hline x - 2 & - & - & + \\ x + 1 & - & + & + \\ \hline \dfrac{x - 2}{x + 1} & + & - & + \end{array}

Il quoziente è positivo per $x < -1$ e per $x > 2$ , ed è uguale a zero per $x = 2$ , che è incluso perché il simbolo è $\geq$ . Il numero $-1$ è escluso per la condizione di esistenza. Le soluzioni sono quindi $x < -1$ oppure $x \geq 2$ .

Le soluzioni di

\frac{x - 2}{x + 1} \geq 0

sono

x < - 1

oppure

x \geq 2

; il numero

- 1

è escluso perché annulla il denominatore

Attenzione

In una disequazione fratta i due membri non si moltiplicano per il denominatore, perché il suo segno cambia con $x$ e quindi non si sa se il verso va invertito. Moltiplicando $\dfrac{x - 2}{x + 1} \geq 0$ per $x + 1$ si otterrebbe $x - 2 \geq 0$ , cioè $x \geq 2$ , e si perderebbero soluzioni. Per esempio con $x = -3$ il quoziente vale $\dfrac{-5}{-2} = \dfrac{5}{2}$ , che è maggiore di zero, quindi $-3$ è una soluzione anche se $-3 \geq 2$ è falsa.

Problemi con le disequazioni

Dal testo alla disequazione

Molti problemi chiedono “da quanti in poi”, “fino a quanto”, “almeno” o “al massimo”. Si sceglie l’incognita, si scrive la disequazione e la si risolve. Le espressioni più comuni si traducono così:

nel testo	simbolo
più di, supera	$>$
meno di	$<$
almeno, non meno di	$\geq$
al massimo, non più di	$\leq$

Alla fine si controlla che la risposta abbia senso. Se l’incognita conta oggetti o persone, le soluzioni sono solo i numeri interi dell’intervallo trovato.

Lavatrice a gettone o tessera

In una lavanderia ogni lavaggio costa $4{,}50$ euro. In alternativa si compra una tessera da $10$ euro, con la quale ogni lavaggio costa $3$ euro. Si cerca da quanti lavaggi in poi la tessera costa meno.

Si indica con $x$ il numero di lavaggi. Senza tessera si spendono $4{,}5\,x$ euro e con la tessera $10 + 3x$ euro. La tessera costa meno se

10 + 3x < 4{,}5\,x .

Trasportando si ottiene $3x - 4{,}5\,x < -10$ , cioè $-1{,}5\,x < -10$ . Dividendo per $-1{,}5$ il verso si inverte, e il quoziente $\dfrac{-10}{-1{,}5}$ è positivo, perché i due numeri sono negativi. Poiché $\dfrac{10}{1{,}5} = \dfrac{100}{15} = \dfrac{20}{3}$ si ottiene

x > \frac{20}{3} .

Il numero $\dfrac{20}{3}$ è compreso tra $6$ e $7$ , perché $6 \cdot 3 = 18$ e $7 \cdot 3 = 21$ . Il numero di lavaggi è intero, quindi la tessera costa meno a partire da $7$ lavaggi. Per controllo, con $7$ lavaggi si spendono $31{,}50$ euro senza tessera e $31$ euro con la tessera; con $6$ lavaggi si spendono $27$ euro senza tessera e $28$ euro con la tessera.

Un problema con due condizioni

Si cercano i numeri il cui triplo diminuito di $4$ supera $11$ e il cui doppio non supera $16$ . Le due condizioni valgono insieme, quindi si scrive un sistema:

\begin{cases} 3x - 4 > 11 \\ 2x \leq 16 \end{cases}

La prima disequazione dà $3x > 15$ , cioè $x > 5$ . La seconda dà $x \leq 8$ . Le soluzioni sono $5 < x \leq 8$ , cioè l’intervallo $(5, 8]$ . Se si cercano solo numeri interi, le soluzioni sono $6$ , $7$ e $8$ .

Esercizi svolti su questo argomento

Esercizi da fare su questo argomento: 14 tracce con soluzione →