Esercizi svolti · Scheda 5

Proporzioni con un termine incognito

Teoria usata: Proporzione Proprietà fondamentale delle proporzioni Termine incognito di una proporzione

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4

Esercizio 1

Stabilisci quali fra le seguenti uguaglianze sono proporzioni:

4 : 6 = 10 : 15 , \qquad 3 : 7 = 9 : 20 .

4 \cdot 15 = 60 \qquad 6 \cdot 10 = 60

3 \cdot 20 = 60 \qquad 7 \cdot 9 = 63

Per la proprietà fondamentale quattro numeri formano una proporzione se e solo se il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi.

Nella prima uguaglianza gli estremi sono $4$ e $15$ , con prodotto $60$ , e i medi sono $6$ e $10$ , con prodotto $60$ . I due prodotti sono uguali, quindi $4 : 6 = 10 : 15$ è una proporzione. Infatti $\dfrac{4}{6}$ e $\dfrac{10}{15}$ si semplificano entrambe in $\dfrac{2}{3}$ .

Nella seconda uguaglianza il prodotto degli estremi è $3 \cdot 20 = 60$ e il prodotto dei medi è $7 \cdot 9 = 63$ . I due prodotti sono diversi, perciò $3 : 7 = 9 : 20$ non è una proporzione.

Esercizio 2

Risolvi la proporzione

3 : 12 = 5 : x .

3 \cdot x = 12 \cdot 5

x = \frac{12 \cdot 5}{3} = \frac{60}{3} = 20

Il termine incognito $x$ occupa l’ultimo posto, quindi è un estremo. Per la proprietà fondamentale il prodotto degli estremi $3 \cdot x$ è uguale al prodotto dei medi $12 \cdot 5 = 60$ . Perciò $x$ è il numero che moltiplicato per $3$ dà $60$ , cioè $x = \dfrac{60}{3} = 20$ .

Il risultato si controlla con i rapporti. Si ha $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ e $\dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$ , quindi la proporzione $3 : 12 = 5 : 20$ è corretta.

Esercizio 3

Risolvi la proporzione

2{,}4 : x = 0{,}6 : 1{,}5 .

0{,}6 \cdot x = 2{,}4 \cdot 1{,}5

2{,}4 \cdot 1{,}5 = 3{,}6

x = \frac{3{,}6}{0{,}6} = \frac{36}{6} = 6

Il termine incognito è al secondo posto, quindi è un medio. Per la proprietà fondamentale il prodotto dei medi $x \cdot 0{,}6$ è uguale al prodotto degli estremi $2{,}4 \cdot 1{,}5$ .

Per calcolare $2{,}4 \cdot 1{,}5$ si moltiplica $24 \cdot 15 = 360$ ; i fattori hanno in tutto due cifre decimali, quindi il prodotto è $3{,}60 = 3{,}6$ . Allora $x$ si ottiene dividendo $3{,}6$ per $0{,}6$ . Moltiplicando dividendo e divisore per $10$ la divisione diventa $\dfrac{36}{6} = 6$ , perciò $x = 6$ .

Esercizio 4

Risolvi la proporzione

\frac{2}{3} : x = \frac{4}{9} : 6 .

\frac{4}{9} \cdot x = \frac{2}{3} \cdot 6

\frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{12}{3} = 4

x = 4 : \frac{4}{9} = 4 \cdot \frac{9}{4} = 9

Anche qui $x$ è un medio, quindi il prodotto dei medi $x \cdot \dfrac{4}{9}$ è uguale al prodotto degli estremi $\dfrac{2}{3} \cdot 6$ . Questo prodotto vale $\dfrac{2 \cdot 6}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ .

Il numero $x$ è perciò il quoziente $4 : \dfrac{4}{9}$ . Dividere per una frazione equivale a moltiplicare per il suo reciproco, come si è visto nell’argomento sulle frazioni, quindi $x = 4 \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{36}{4} = 9$ .

Il risultato si controlla con i rapporti. Il primo rapporto è $\dfrac{2}{3} : 9 = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{27}$ , il secondo è $\dfrac{4}{9} : 6 = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{54} = \dfrac{2}{27}$ . I due rapporti sono uguali, quindi $x = 9$ è la soluzione.