Esercizi svolti · Scheda 3

Studio completo del comportamento agli estremi

Teoria usata: Studio degli estremi Insieme di convergenza Criterio del rapporto per il raggio

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Esercizio 1

Determinare l’insieme di convergenza della serie

n = 1 \sum \infty \frac{( x - 2 ) ^{n}}{n 4 ^{n}} .

a_{n} = \frac{1}{n 4 ^{n}}, \frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣} = \frac{n}{4 ( n + 1 )} n \to \infty \frac{1}{4} ⟹ R = 4

intervallo aperto: (- 2, 6)

x = 6 : n = 1 \sum \infty \frac{4 ^{n}}{n 4 ^{n}} = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} diverge

x = - 2 : n = 1 \sum \infty \frac{( - 4 ) ^{n}}{n 4 ^{n}} = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} converge

E = [- 2, 6)

Il centro è $x_{0} = 2$ e il rapporto tra i moduli dei coefficienti tende a $\frac{1}{4}$ , quindi $R = 4$ e l’intervallo aperto di convergenza è $(2 - 4, 2 + 4) = (- 2, 6)$ . In ciascun estremo si sostituisce il valore di $x$ e si studia la serie numerica ottenuta. In $x = 6$ si ha $(x - 2)^{n} = 4^{n}$ , la potenza si semplifica e resta la serie armonica, che diverge. In $x = - 2$ si ha $(x - 2)^{n} = (- 4)^{n}$ e resta la serie armonica a segni alterni, che converge per il criterio di Leibniz, poiché $\frac{1}{n}$ è decrescente e tende a $0$ . L’insieme di convergenza include quindi solo l’estremo sinistro.

Esercizio 2

Determinare l’insieme di convergenza della serie

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} ( x + 1 ) ^{n}}{n ^{2} 2 ^{n}} .

∣ a_{n} ∣ = \frac{1}{n ^{2} 2 ^{n}}, \frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣} = \frac{n ^{2}}{2 ( n + 1 ) ^{2}} n \to \infty \frac{1}{2} ⟹ R = 2

intervallo aperto: (- 3, 1)

x = 1 : n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} 2 ^{n}}{n ^{2} 2 ^{n}} = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} converge assolutamente

x = - 3 : n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} ( - 2 ) ^{n}}{n ^{2} 2 ^{n}} = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}} converge

E = [- 3, 1]

Il fattore $(- 1)^{n}$ ha modulo $1$ , quindi non influisce sul raggio: il rapporto tra i moduli dei coefficienti tende a $\frac{1}{2}$ e $R = 2$ . La serie è centrata in $x_{0} = - 1$ , perciò l’intervallo aperto è $(- 3, 1)$ . In $x = 1$ il modulo del termine generale è $\frac{1}{n ^{2}}$ , termine di una serie armonica generalizzata convergente, quindi la serie converge assolutamente. In $x = - 3$ il prodotto $(- 1)^{n} (- 2)^{n}$ vale $2^{n}$ , perché i due segni negativi si compensano; la potenza si semplifica e resta la serie $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ , che converge. Entrambi gli estremi appartengono all’insieme di convergenza, quindi l’intervallo è chiuso.

Esercizio 3

Determinare l’insieme di convergenza della serie

n = 2 \sum \infty \frac{( x - 1 ) ^{n}}{n ln n} .

a_{n} = \frac{1}{n ln n}, \frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣} = \frac{n ln n}{( n + 1 ) ln ( n + 1 )} n \to \infty 1 ⟹ R = 1

intervallo aperto: (0, 2)

x = 2 : n = 2 \sum \infty \frac{1}{n ln n} diverge (\int_{2}^{+ \infty} \frac{d t}{t ln t} = [ln (ln t)]_{2}^{+ \infty} = + \infty)

x = 0 : n = 2 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ln n} converge

E = [0, 2)

Il rapporto tra i coefficienti tende a $1$ , poiché $\frac{n}{n + 1} \to 1$ e $\frac{ln n}{ln ( n + 1 )} \to 1$ , quindi $R = 1$ e l’intervallo aperto, centrato in $x_{0} = 1$ , è $(0, 2)$ . In $x = 2$ resta la serie $\sum \frac{1}{n ln n}$ : il confronto con la serie armonica non è conclusivo, perché il termine è più piccolo di $\frac{1}{n}$ , quindi si applica il criterio dell’integrale. La funzione $\frac{1}{t ln t}$ è positiva e decrescente per $t \geq 2$ e una sua primitiva è $ln (ln t)$ , che tende a $+ \infty$ : l’integrale diverge, perciò la serie diverge. In $x = 0$ resta la serie a segni alterni con termine $\frac{1}{n ln n}$ , decrescente e infinitesimo, che converge per il criterio di Leibniz. L’insieme di convergenza è $[0, 2)$ .