Classificazione dei punti critici con la matrice Hessiana

Il gradiente si annulla soltanto in $(2,-1)$, quindi per il teorema di Fermat ogni eventuale estremo libero è in quel punto. Le derivate seconde sono costanti: $f_{xx}=2$, $f_{yy}=2$, $f_{xy}=0$. Poiché $\det H=4>0$ e $f_{xx}=2>0$, la matrice Hessiana è definita positiva, perciò $(2,-1)$ è un punto di minimo locale con valore $f(2,-1)=-5$. Il minimo è anche assoluto, dato che con il completamento dei quadrati si scrive $f(x,y)=(x-2{)}^2+(y+1{)}^2-5\ge -5$ per ogni $(x,y)$.

La prima equazione del sistema dà $x^2=1$, cioè $x=\pm 1$, e la seconda dà $y=0$, quindi i punti critici sono due. La matrice Hessiana dipende solo da $x$ e va valutata in ciascun punto. In $(1,0)$ il determinante è positivo e $f_{xx}=6>0$, perciò il punto è di minimo locale con $f(1,0)=1-3=-2$. In $(-1,0)$ il determinante è negativo, perciò il punto è di sella. Il minimo non è assoluto, poiché lungo l’asse $x$ si ha $f(x,0)=x^3-3x\to -\infty$ per $x\to -\infty$.

Il sistema non è disaccoppiato, quindi si procede per sostituzione: dalla prima equazione si ricava $y=\frac{x^2}{2}$ e si sostituisce nella seconda. L’equazione risultante si fattorizza come $\frac{3x}{4}(x^3-8)=0$ e ha le sole soluzioni reali $x=0$ e $x=2$; i corrispondenti valori $y=\frac{x^2}{2}$ danno i punti critici $(0,0)$ e $(2,2)$. Nell’origine il determinante della Hessiana è negativo, perciò il punto è di sella. In $(2,2)$ il determinante è positivo e $f_{xx}=12>0$, perciò il punto è di minimo locale con $f(2,2)=-8$. Anche qui il minimo non è assoluto: lungo l’asse $x$ risulta $f(x,0)=x^3\to -\infty$ per $x\to -\infty$.