Esercizi svolti · Scheda 2

Rette tangenti a curve definite implicitamente

Teoria usata: Retta tangente a una curva definita implicitamente Teorema di Dini (due variabili)Il gradiente è ortogonale alle curve di livello

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Esercizio 1

Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva

x^{2} + x y + y^{2} = 3

nel punto $(1, 1)$ .

F (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 3, F (1, 1) = 1 + 1 + 1 - 3 = 0

F_{x} (1, 1) = 2 x + y_{(1, 1)} = 3, F_{y} (1, 1) = x + 2 y_{(1, 1)} = 3

3 (x - 1) + 3 (y - 1) = 0 ⟹ y = - x + 2

Il punto appartiene alla curva, poiché $F (1, 1) = 0$ . Il gradiente nel punto è $\nabla F (1, 1) = (3, 3)$ , diverso dal vettore nullo, quindi la retta tangente esiste e ha equazione $F_{x} (1, 1) (x - 1) + F_{y} (1, 1) (y - 1) = 0$ . Dividendo per $3$ si ottiene $x + y = 2$ , cioè $y = - x + 2$ . Allo stesso risultato si arriva con il teorema di Dini: poiché $F_{y} (1, 1) = 3 \neq = 0$ , vicino al punto la curva è il grafico di una funzione implicita con $φ^{'} (1) = - \frac{3}{3} = - 1$ , e la tangente è $y = 1 - (x - 1)$ .

Esercizio 2

Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva

x^{2} y^{3} + x^{3} - 2 y = 0

nel punto $(1, 1)$ .

F (x, y) = x^{2} y^{3} + x^{3} - 2 y, F (1, 1) = 1 + 1 - 2 = 0

F_{x} (1, 1) = 2 x y^{3} + 3 x^{2}_{(1, 1)} = 5, F_{y} (1, 1) = 3 x^{2} y^{2} - 2_{(1, 1)} = 1

5 (x - 1) + 1 \cdot (y - 1) = 0 ⟹ y = - 5 x + 6

Sostituendo le coordinate del punto si ottiene $F (1, 1) = 0$ , quindi il punto appartiene alla curva. Nel calcolo di $F_{x}$ il termine $x^{2} y^{3}$ si deriva rispetto a $x$ tenendo $y$ costante, e dà $2 x y^{3}$ ; il termine $x^{3}$ dà $3 x^{2}$ ; nel punto la somma vale $5$ . Nel calcolo di $F_{y}$ lo stesso termine dà $3 x^{2} y^{2}$ e il termine $- 2 y$ dà $- 2$ , con valore $1$ nel punto. Poiché il gradiente $(5, 1)$ non è nullo, la retta tangente ha equazione $5 (x - 1) + (y - 1) = 0$ ; risolvendo rispetto a $y$ si ottiene $y = - 5 x + 6$ . Il coefficiente angolare $- 5$ è il valore $φ^{'} (1) = - \frac{F _{x}}{F _{y}}$ della derivata della funzione implicita.

Esercizio 3

Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva

e^{x y} - x - y = 0

nel punto $(0, 1)$ .

F (x, y) = e^{x y} - x - y, F (0, 1) = 1 - 0 - 1 = 0

F_{x} (0, 1) = y e^{x y} - 1_{(0, 1)} = 1 - 1 = 0, F_{y} (0, 1) = x e^{x y} - 1_{(0, 1)} = - 1

0 \cdot (x - 0) + (- 1) (y - 1) = 0 ⟹ y = 1

Il punto appartiene alla curva perché $e^{0} = 1$ e $1 - 0 - 1 = 0$ . Le derivate parziali nel punto sono $F_{x} (0, 1) = 0$ e $F_{y} (0, 1) = - 1$ : il gradiente $(0, - 1)$ non è nullo, quindi la tangente esiste, e poiché $F_{y} (0, 1) \neq = 0$ il teorema di Dini si applica rispetto a $y$ . La derivata della funzione implicita è $φ^{'} (0) = - \frac{0}{- 1} = 0$ , perciò la retta tangente è orizzontale e ha equazione $y = 1$ . L’annullarsi di $F_{x}$ nel punto significa che $x = 0$ è un punto stazionario della funzione implicita; la natura di questi punti si decide con la derivata seconda.