Esercizi svolti · Scheda 3

Non esistenza di limiti tramite restrizioni

Teoria usata: Teorema delle restrizioni Limite in due variabili

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Esercizio 1

Stabilire se esiste il limite

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} .

y = 0 : f (x, 0) = \frac{x ^{2}}{x ^{2}} = 1 x \to 0 1

x = 0 : f (0, y) = \frac{- y ^{2}}{y ^{2}} = - 1 y \to 0 - 1

1 \neq = - 1 ⟹ il limite non esiste

Si calcolano le restrizioni lungo i due assi. Sull’asse $x$ si pone $y = 0$ : la funzione vale costantemente $1$ , quindi la restrizione tende a $1$ . Sull’asse $y$ si pone $x = 0$ : la funzione vale costantemente $- 1$ , quindi la restrizione tende a $- 1$ . Per il teorema delle restrizioni, se il limite esistesse ogni restrizione dovrebbe tendere allo stesso valore; poiché due restrizioni producono valori diversi, il limite non esiste.

Esercizio 2

Stabilire se esiste il limite

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}} .

y = 0 : f (x, 0) = 0 x \to 0 0

y = m x : f (x, m x) = \frac{m x ^{2}}{x ^{2} + m ^{2} x ^{2}} = \frac{m}{1 + m ^{2}}

m = 1 : \frac{1}{2}, m = 0 : 0, \frac{1}{2} \neq = 0 ⟹ il limite non esiste

Lungo gli assi la funzione è identicamente nulla, perché il numeratore $x y$ si annulla quando una delle due coordinate è zero; i soli assi non bastano quindi a concludere. Si restringe allora la funzione al fascio di rette $y = m x$ : sostituendo si ottiene $\frac{m x ^{2}}{( 1 + m ^{2} ) x ^{2}} = \frac{m}{1 + m ^{2}}$ , un valore costante lungo ciascuna retta ma dipendente dalla pendenza $m$ . Per $m = 0$ la restrizione tende a $0$ , mentre per $m = 1$ tende a $\frac{1}{2}$ . Poiché due restrizioni producono limiti diversi, il limite non esiste.

Esercizio 3

Stabilire se esiste il limite

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x y ^{2}}{x ^{2} + y ^{4}} .

y = m x : f (x, m x) = \frac{m ^{2} x ^{3}}{x ^{2} + m ^{4} x ^{4}} = \frac{m ^{2} x}{1 + m ^{4} x ^{2}} x \to 0 0

x = 0 : f (0, y) = 0 y \to 0 0

x = y^{2} : f (y^{2}, y) = \frac{y ^{2} \cdot y ^{2}}{y ^{4} + y ^{4}} = \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \neq = 0 ⟹ il limite non esiste

Lungo ogni retta $y = m x$ la restrizione vale $\frac{m ^{2} x}{1 + m ^{4} x ^{2}}$ , che tende a $0$ per $x \to 0$ qualunque sia $m$ ; anche la restrizione all’asse $y$ è nulla. Tutte le rette per l’origine producono quindi lo stesso valore $0$ , ma questo non dimostra l’esistenza del limite, perché il teorema delle restrizioni fornisce solo condizioni necessarie. Il denominatore contiene $y^{4}$ , quindi si prova la parabola $x = y^{2}$ , che bilancia i gradi: sostituendo si ottiene il valore costante $\frac{1}{2}$ . Poiché la restrizione alla parabola tende a $\frac{1}{2}$ e le restrizioni alle rette tendono a $0$ , il limite non esiste.