Esercizi svolti · Scheda 2

Rette tangenti a curve parametriche

Teoria usata: Vettore tangente e retta tangente Curva regolare

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Esercizio 1

Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva

γ (t) = (t, t^{2}), t \in [- 2, 2],

nel punto $γ (1)$ .

γ (1) = (1, 1), γ^{'} (t) = (1, 2 t), γ^{'} (1) = (1, 2)

r (s) = (1 + s, 1 + 2 s), s \in R

y - 1 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x - 1

Il punto di tangenza è $γ (1) = (1, 1)$ e la direzione della retta è data dal vettore tangente $γ^{'} (1) = (1, 2)$ , che non è nullo, quindi la retta tangente è definita. L’equazione parametrica si scrive sommando al punto il vettore direzione moltiplicato per il parametro $s$ . Per la forma cartesiana si osserva che la direzione $(1, 2)$ corrisponde al coefficiente angolare $2$ , perciò la retta per $(1, 1)$ con pendenza $2$ ha equazione $y = 2 x - 1$ . Il sostegno della curva è la parabola $y = x^{2}$ e il risultato coincide con la tangente alla parabola calcolata con la derivata di $x^{2}$ in $x = 1$ .

Esercizio 2

Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva

γ (t) = (e^{t}, e^{- t}), t \in [- 1, 1],

nel punto $γ (0)$ .

γ (0) = (1, 1), γ^{'} (t) = (e^{t}, - e^{- t}), γ^{'} (0) = (1, - 1)

r (s) = (1 + s, 1 - s), s \in R

y - 1 = - (x - 1) ⟹ y = 2 - x

Le componenti si derivano con le regole dell’esponenziale: la derivata di $e^{- t}$ è $- e^{- t}$ per la regola della catena. Nel punto $t = 0$ il vettore tangente è $(1, - 1)$ , non nullo, quindi la retta tangente esiste e passa per $γ (0) = (1, 1)$ con quella direzione. Il coefficiente angolare associato alla direzione $(1, - 1)$ è $- 1$ , perciò la forma cartesiana è $y = 2 - x$ . Il sostegno della curva giace sull’iperbole $x y = 1$ , poiché $e^{t} \cdot e^{- t} = 1$ , e la retta trovata è la tangente all’iperbole nel punto $(1, 1)$ .

Esercizio 3

Scrivere l’equazione parametrica della retta tangente all’elica

γ (t) = (cos t, sin t, t), t \in [0, 2 π],

nel punto $γ (\frac{π}{2})$ .

γ (\frac{π}{2}) = (0, 1, \frac{π}{2})

γ^{'} (t) = (- sin t, cos t, 1), γ^{'} (\frac{π}{2}) = (- 1, 0, 1)

r (s) = (- s, 1, \frac{π}{2} + s), s \in R

Il punto di tangenza si ottiene valutando la parametrizzazione in $t = \frac{π}{2}$ , dove $cos \frac{π}{2} = 0$ e $sin \frac{π}{2} = 1$ . Il vettore tangente nello stesso istante è $(- 1, 0, 1)$ , non nullo perché la terza componente di $γ^{'}$ è sempre $1$ . Nello spazio la retta tangente non ammette un’unica equazione cartesiana, quindi la risposta resta in forma parametrica: a ogni valore di $s$ corrisponde il punto che si ottiene partendo da $(0, 1, \frac{π}{2})$ e spostandosi di $s$ volte il vettore $(- 1, 0, 1)$ . La seconda coordinata della retta è costante, poiché la componente $y$ del vettore tangente in quel punto è nulla.