Esercizi svolti · Scheda 6

Formule inverse

Teoria usata: Formula inversa Primo principio di equivalenza Secondo principio di equivalenza

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Esercizio 1

L’area di un triangolo è $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$ , dove $b$ è la base e $h$ l’altezza. Ricava la formula inversa per l’altezza $h$ e calcola $h$ per un triangolo con $A = 30$ cm² e $b = 12$ cm.

\begin{aligned} A &= \frac{b \cdot h}{2} \\[6pt] 2A &= b \cdot h \\[6pt] h &= \frac{2A}{b} \end{aligned}

h = \frac{2 \cdot 30}{12} = \frac{60}{12} = 5

L’altezza del triangolo è $h = 5$ cm.

La grandezza da ricavare è $h$ , che si tratta come un’incognita. Nella formula $h$ è moltiplicata per $b$ e divisa per $2$ . Per il secondo principio si moltiplicano entrambi i membri per $2$ , e si ottiene $2A = b \cdot h$ , senza denominatore.

La base $b$ è una lunghezza, quindi è diversa da zero. Dividendo entrambi i membri per $b$ si ottiene la formula inversa $h = \dfrac{2A}{b}$ .

Sostituendo $A = 30$ e $b = 12$ si trova $h = \dfrac{60}{12} = 5$ . La verifica dà $\dfrac{12 \cdot 5}{2} = \dfrac{60}{2} = 30$ .

Esercizio 2

Il perimetro di un rettangolo di base $b$ e altezza $h$ è $2p = 2\,(b + h)$ . Ricava la formula inversa per $h$ e calcola $h$ per un rettangolo con perimetro $34$ cm e base $10$ cm.

\begin{aligned} 2p &= 2\,(b + h) \\[6pt] p &= b + h \\[6pt] h &= p - b \end{aligned}

p = \frac{34}{2} = 17, \qquad h = 17 - 10 = 7

L’altezza del rettangolo è $h = 7$ cm.

Il simbolo $2p$ indica il perimetro, quindi $p$ è il semiperimetro, cioè la metà del perimetro. Dividendo entrambi i membri per $2$ , con il secondo principio, si ottiene $p = b + h$ .

Con il primo principio si toglie $b$ da entrambi i membri, e si ottiene la formula inversa $h = p - b$ . In parole semplici, l’altezza è il semiperimetro meno la base.

Il perimetro è $34$ cm, quindi il semiperimetro è $17$ cm. L’altezza è perciò $17 - 10 = 7$ cm. La verifica dà $2 \cdot (10 + 7) = 2 \cdot 17 = 34$ .

Esercizio 3

L’area di un trapezio è $A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$ , dove $B$ e $b$ sono le due basi e $h$ è l’altezza. Ricava la formula inversa per la base minore $b$ e calcola $b$ per un trapezio con $A = 40$ cm², $h = 4$ cm e $B = 12$ cm.

\begin{aligned} A &= \frac{(B + b) \cdot h}{2} \\[6pt] 2A &= (B + b) \cdot h \\[6pt] \frac{2A}{h} &= B + b \\[6pt] b &= \frac{2A}{h} - B \end{aligned}

b = \frac{2 \cdot 40}{4} - 12 = \frac{80}{4} - 12 = 20 - 12 = 8

La base minore del trapezio è $b = 8$ cm.

L’incognita $b$ compare dentro la somma $B + b$ , che è moltiplicata per $h$ e divisa per $2$ . Si eliminano prima le operazioni che agiscono sulla somma intera. Moltiplicando entrambi i membri per $2$ si ottiene $2A = (B + b) \cdot h$ .

L’altezza $h$ è diversa da zero, quindi per il secondo principio si dividono entrambi i membri per $h$ , e resta $\dfrac{2A}{h} = B + b$ . Infine, con il primo principio, si toglie $B$ da entrambi i membri e si ottiene $b = \dfrac{2A}{h} - B$ .

Con i dati del testo $\dfrac{2 \cdot 40}{4} = 20$ , quindi $b = 20 - 12 = 8$ . La verifica dà $\dfrac{(12 + 8) \cdot 4}{2} = \dfrac{80}{2} = 40$ .

Esercizio 4

In una bolletta dell’acqua si paga una quota fissa di $12$ euro più $0{,}25$ euro per ogni metro cubo consumato. Il costo totale è $C = 12 + 0{,}25\,m$ , dove $m$ è il consumo in metri cubi. Ricava la formula inversa per $m$ e calcola il consumo di una famiglia che paga $87$ euro.

\begin{aligned} C &= 12 + 0{,}25\,m \\[6pt] C - 12 &= 0{,}25\,m \\[6pt] m &= \frac{C - 12}{0{,}25} \end{aligned}

m = \frac{87 - 12}{0{,}25} = \frac{75}{0{,}25} = 75 \cdot 4 = 300

La famiglia ha consumato $300$ metri cubi d’acqua.

Si toglie la quota fissa da entrambi i membri con il primo principio, e si ottiene $C - 12 = 0{,}25\,m$ . Il numero $0{,}25$ è diverso da zero, quindi per il secondo principio si dividono entrambi i membri per $0{,}25$ e si ottiene la formula inversa.

Con $C = 87$ si ha $87 - 12 = 75$ . Il numero $0{,}25$ è uguale a $\dfrac{1}{4}$ , e dividere per $\dfrac{1}{4}$ equivale a moltiplicare per il reciproco $4$ . Perciò $m = 75 \cdot 4 = 300$ .

La verifica dà $12 + 0{,}25 \cdot 300 = 12 + 75 = 87$ .