Equazioni fratte

L’incognita compare al denominatore, quindi l’equazione è fratta. Il denominatore $x$ deve essere diverso da zero, e la condizione di esistenza è $x\ne 0$.

Con questa condizione si possono moltiplicare entrambi i membri per $x$, per il secondo principio. Al primo membro resta $12$ e al secondo $3x$. Dividendo entrambi i membri per $3$ si trova $x=4$.

Il numero $4$ soddisfa la condizione di esistenza, quindi è accettabile. La verifica dà $\frac{12}{4}=3$.

I denominatori sono $x-2$ e $x+1$. Il primo vale zero per $x=2$ e il secondo per $x=-1$. Entrambi devono essere diversi da zero, perciò le due condizioni si scrivono insieme in un sistema.

Il minimo comune multiplo dei denominatori è il prodotto $(x-2)(x+1)$. Moltiplicando entrambi i membri per questo prodotto, al primo membro si semplifica $x-2$ e resta $3(x+1)$, al secondo si semplifica $x+1$ e resta $4(x-2)$.

Con la proprietà distributiva si ottiene $3x+3=4x-8$. Con la regola del trasporto si arriva a $-x=-11$, e moltiplicando entrambi i membri per $-1$ si trova $x=11$.

Il numero $11$ soddisfa le condizioni di esistenza, quindi è accettabile. La verifica dà $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ e $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

L’unico denominatore è $x-1$, che vale zero per $x=1$. La condizione di esistenza è quindi $x\ne 1$.

Si moltiplicano tutti i termini per $x-1$. Il primo termine diventa $x$, il termine $-2$ diventa $-2(x-1)$ e il secondo membro diventa $1$. Il termine $-2$ non ha denominatore, ma va moltiplicato anch’esso. Svolgendo il prodotto si ottiene $x-2x+2=1$, e quindi $x=1$.

Il numero $1$ è proprio il valore escluso dalla condizione di esistenza. Messo nell’equazione di partenza dà $\frac{1}{0}$, che non ha significato. La soluzione trovata si scarta, perciò l’equazione non ha soluzioni ed è impossibile.

Il denominatore $x^2-9$ è una differenza di quadrati, perché $9=3^2$. Si scompone quindi in $(x-3)(x+3)$, e il minimo comune multiplo dei tre denominatori è proprio $(x-3)(x+3)$.

Il prodotto $(x-3)(x+3)$ vale zero quando vale zero uno dei due fattori, cioè per $x=3$ oppure per $x=-3$. Le condizioni di esistenza escludono entrambi i valori, e si scrivono insieme in un sistema.

Moltiplicando per $(x-3)(x+3)$, il primo termine diventa $2(x+3)$, il secondo diventa $-(x-3)$ e il secondo membro diventa $10$. Il segno meno cambia il segno di entrambi i termini di $x-3$, quindi si scrive $-x+3$. Si ottiene $x+9=10$, cioè $x=1$.

Il numero $1$ soddisfa le condizioni di esistenza, quindi è accettabile. Nella verifica il primo membro vale $\frac{2}{-2}-\frac{1}{4}=-1-\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$, e il secondo vale $\frac{10}{1-9}=\frac{10}{-8}=-\frac{5}{4}$.