Esercizi svolti · Scheda 1

Equazioni intere senza prodotti

Teoria usata: Soluzione e verifica Primo principio di equivalenza Regola del trasporto Secondo principio di equivalenza Risoluzione di un'equazione intera

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Esercizio 1

Risolvi l’equazione $4x - 9 = 11$ e fai la verifica.

\begin{aligned} 4x - 9 &= 11 \\[6pt] 4x &= 11 + 9 \\[6pt] 4x &= 20 \\[6pt] x &= \frac{20}{4} \\[6pt] x &= 5 \end{aligned}

4 \cdot 5 - 9 = 20 - 9 = 11

L’equazione ha soluzione $x = 5$ .

Il primo membro contiene il termine $-9$ , che si sposta al secondo membro con la regola del trasporto. Passando dall’altra parte del segno $=$ il termine cambia segno, quindi diventa $+9$ , e al secondo membro si ottiene $11 + 9 = 20$ .

Nell’equazione $4x = 20$ il numero $4$ moltiplica la $x$ . Per il secondo principio si dividono entrambi i membri per $4$ , che è diverso da zero, e si ottiene $x = \dfrac{20}{4} = 5$ .

Nella verifica si mette $5$ al posto di $x$ nel primo membro. Si ottiene $4 \cdot 5 - 9 = 20 - 9 = 11$ , che è uguale al secondo membro, perciò $x = 5$ è la soluzione.

Esercizio 2

Risolvi l’equazione $7x + 2 = 3x - 10$ .

\begin{aligned} 7x + 2 &= 3x - 10 \\[6pt] 7x - 3x &= -10 - 2 \\[6pt] 4x &= -12 \\[6pt] x &= \frac{-12}{4} \\[6pt] x &= -3 \end{aligned}

7 \cdot (-3) + 2 = -21 + 2 = -19, \qquad 3 \cdot (-3) - 10 = -9 - 10 = -19

L’equazione ha soluzione $x = -3$ .

La $x$ compare in entrambi i membri. Con la regola del trasporto si porta $3x$ al primo membro, dove diventa $-3x$ , e si porta $+2$ al secondo membro, dove diventa $-2$ . Al primo membro $7x - 3x = 4x$ , al secondo membro $-10 - 2 = -12$ .

Si dividono entrambi i membri per $4$ . Il quoziente di un numero negativo per un numero positivo è negativo, per la regola dei segni, quindi $\dfrac{-12}{4} = -3$ .

Nella verifica il prodotto $7 \cdot (-3)$ vale $-21$ , e aggiungendo $2$ si ottiene $-19$ . Al secondo membro $3 \cdot (-3) = -9$ , e togliendo $10$ si ottiene ancora $-19$ . I due membri sono uguali, perciò $x = -3$ è la soluzione.

Esercizio 3

Risolvi l’equazione $5 - 2x = 3x + 8 - x$ .

\begin{aligned} 5 - 2x &= 3x + 8 - x \\[6pt] 5 - 2x &= 2x + 8 \\[6pt] -2x - 2x &= 8 - 5 \\[6pt] -4x &= 3 \\[6pt] x &= \frac{3}{-4} \\[6pt] x &= -\frac{3}{4} \end{aligned}

L’equazione ha soluzione $x = -\dfrac{3}{4}$ .

Prima di trasportare i termini si sommano i termini simili del secondo membro. I termini $3x$ e $-x$ contengono entrambi la $x$ , quindi $3x - x = 2x$ , e il secondo membro diventa $2x + 8$ .

Con la regola del trasporto si porta $2x$ al primo membro, dove diventa $-2x$ , e si porta $5$ al secondo membro, dove diventa $-5$ . Al primo membro $-2x - 2x = -4x$ , al secondo membro $8 - 5 = 3$ .

Si dividono entrambi i membri per $-4$ . Un numero positivo diviso per un numero negativo dà un risultato negativo, perciò $x = -\dfrac{3}{4}$ .

Nella verifica il primo membro vale $5 - 2 \cdot \left( -\dfrac{3}{4} \right) = 5 + \dfrac{6}{4} = \dfrac{10}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{13}{2}$ . Il secondo membro, già ridotto, vale $2 \cdot \left( -\dfrac{3}{4} \right) + 8 = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{16}{2} = \dfrac{13}{2}$ . I due valori sono uguali, quindi la soluzione è corretta.