Esercizi svolti · Scheda 5

Fattorizzazioni con raccoglimento parziale e trinomio speciale

Teoria usata: Raccoglimento totale e parziale Trinomio speciale Differenza di quadrati Strategia di fattorizzazione

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Esercizio 1

Scomporre in fattori $x^{2} + 7 x + 12$ e $x^{2} - 3 x - 10$ .

x^{2} + 7 x + 12 = (x + 3) (x + 4)

x^{2} - 3 x - 10 = (x - 5) (x + 2)

Il primo trinomio ha la forma $x^{2} + s x + p$ con $s = 7$ e $p = 12$ , quindi si cercano due numeri con somma $7$ e prodotto $12$ . I numeri sono $3$ e $4$ , perciò il trinomio si scompone in $(x + 3) (x + 4)$ .

Nel secondo trinomio la somma richiesta è $- 3$ e il prodotto è $- 10$ . Poiché il prodotto è negativo, i due numeri hanno segno opposto; la coppia $- 5$ e $2$ soddisfa entrambe le condizioni, dato che $- 5 + 2 = - 3$ e $(- 5) \cdot 2 = - 10$ , quindi la scomposizione è $(x - 5) (x + 2)$ .

Esercizio 2

Scomporre in fattori $2 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3$ .

2 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3 = x^{2} (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = (2 x - 1) (x^{2} + 3)

Il polinomio ha quattro termini senza un fattore comune a tutti, quindi si prova il raccoglimento parziale. Dai primi due termini si raccoglie $x^{2}$ , che lascia $2 x - 1$ ; dagli ultimi due si raccoglie $3$ , che lascia di nuovo $2 x - 1$ . I due gruppi hanno lo stesso fattore $2 x - 1$ , perciò il raccoglimento parziale si conclude raccogliendo $2 x - 1$ .

Il fattore $x^{2} + 3$ è una somma di un quadrato e di un numero positivo, quindi vale $x^{2} + 3 \geq 3 > 0$ per ogni $x$ : il fattore non ha radici reali e la scomposizione è completa.

Esercizio 3

Scomporre completamente $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$ .

x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = (x - 3) (x^{2} - 4)

(x - 3) (x^{2} - 4) = (x - 3) (x - 2) (x + 2)

Il raccoglimento parziale raggruppa i primi due termini, da cui si raccoglie $x^{2}$ , e gli ultimi due, da cui si raccoglie $- 4$ : il raccoglimento di $- 4$ anziché di $4$ serve a lasciare in entrambi i gruppi lo stesso fattore $x - 3$ , poiché $- 4 (x - 3) = - 4 x + 12$ . Raccogliendo $x - 3$ si ottiene il prodotto $(x - 3) (x^{2} - 4)$ .

La strategia riparte sui fattori ottenuti: $x^{2} - 4$ è una differenza di quadrati, quindi si scompone in $(x - 2) (x + 2)$ . Tutti i fattori hanno grado $1$ , perciò la fattorizzazione è completa.