Esercizi svolti · Scheda 3

Regola di Ruffini e teorema del resto

Teoria usata: Teorema del resto Teorema di Ruffini Regola di Ruffini

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Esercizio 1

Calcolare, senza eseguire le divisioni, il resto della divisione di $P (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 2 x - 1$ per $x - 2$ e per $x + 1$ .

P (2) = 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2 - 1 = 16 - 24 + 4 - 1 = - 5

P (- 1) = (- 1)^{4} - 3 \cdot (- 1)^{3} + 2 \cdot (- 1) - 1 = 1 + 3 - 2 - 1 = 1

I resti sono $- 5$ e $1$ .

Per il teorema del resto, il resto della divisione di $P (x)$ per $x - c$ è il valore $P (c)$ , quindi basta una valutazione del polinomio. Nella prima divisione il divisore è $x - 2$ , perciò $c = 2$ e il resto è $P (2) = - 5$ .

Il divisore $x + 1$ si scrive come $x - (- 1)$ , quindi $c = - 1$ e il resto è $P (- 1) = 1$ . Poiché entrambi i resti sono diversi da zero, per il teorema di Ruffini né $x - 2$ né $x + 1$ dividono $P$ .

Esercizio 2

Con la regola di Ruffini, determinare quoziente e resto della divisione di $P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4$ per $x - 2$ .

2 x^{3} - 3 x^{2} + 0 x + 4

222 - 3 41 022448

Q (x) = 2 x^{2} + x + 2, R = 8

Il polinomio manca del termine di grado $1$ , quindi nella prima riga dello schema il coefficiente corrispondente è $0$ ; il numero a sinistra è $c = 2$ , perché il divisore è $x - 2$ .

Il primo coefficiente $2$ scende invariato. Poi si ripete il passo moltiplica e somma: $2 \cdot 2 = 4$ e $- 3 + 4 = 1$ ; quindi $1 \cdot 2 = 2$ e $0 + 2 = 2$ ; infine $2 \cdot 2 = 4$ e $4 + 4 = 8$ . I primi tre numeri della riga dei risultati sono i coefficienti del quoziente, che ha grado $2$ , e l’ultimo è il resto.

Il teorema del resto fornisce la verifica: $P (2) = 16 - 12 + 4 = 8$ , che coincide con il resto dello schema.

Esercizio 3

Determinare $k$ in modo che $x + 2$ divida $P (x) = x^{3} + k x^{2} + x - 6$ , e scrivere la divisione per il valore trovato.

P (- 2) = - 8 + 4 k - 2 - 6 = 4 k - 16

4 k - 16 = 0 ⟹ k = 4

Per $k = 4$ , con la regola di Ruffini:

- 2 11 4 - 2 2 1 - 4 - 3 - 6 60

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6 = (x + 2) (x^{2} + 2 x - 3)

Per il teorema di Ruffini, $x + 2$ divide $P$ se e solo se $P (- 2) = 0$ . Il valore $P (- 2)$ dipende da $k$ e vale $4 k - 16$ , quindi la condizione di divisibilità diventa l’equazione $4 k - 16 = 0$ , che ha soluzione $k = 4$ .

Con $k = 4$ lo schema di Ruffini con $c = - 2$ procede così: il coefficiente $1$ scende; $1 \cdot (- 2) = - 2$ e $4 - 2 = 2$ ; $2 \cdot (- 2) = - 4$ e $1 - 4 = - 3$ ; $- 3 \cdot (- 2) = 6$ e $- 6 + 6 = 0$ . Il resto è $0$ , come richiesto, e il quoziente è $x^{2} + 2 x - 3$ , perciò la divisione fornisce la scomposizione indicata.