Esercizi svolti · Scheda 1

Prodotti notevoli e raccoglimenti

Teoria usata: Quadrato e cubo di binomio Differenza di quadrati Somma e differenza di cubi Raccoglimento totale e parziale

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Esercizio 1

Sviluppare $(3 x - 2)^{2}$ e $(x + 2)^{3}$ .

(3 x - 2)^{2} = (3 x)^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot 2 + 2^{2} = 9 x^{2} - 12 x + 4

(x + 2)^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^{2} + 2^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8

Nel quadrato di binomio le basi sono $A = 3 x$ e $B = 2$ , quindi i quadrati sono $9 x^{2}$ e $4$ e il doppio prodotto è $2 \cdot 3 x \cdot 2 = 12 x$ ; il binomio contiene un segno meno, perciò il doppio prodotto compare con segno negativo.

Nel cubo di binomio le basi sono $A = x$ e $B = 2$ . I quattro termini dello sviluppo sono $A^{3} = x^{3}$ , $3 A^{2} B = 3 \cdot x^{2} \cdot 2 = 6 x^{2}$ , $3 A B^{2} = 3 \cdot x \cdot 4 = 12 x$ e $B^{3} = 8$ ; il binomio è una somma, quindi tutti i segni sono positivi.

Esercizio 2

Scomporre in fattori $4 x^{2} - 25$ e $8 x^{3} - 27$ .

4 x^{2} - 25 = (2 x)^{2} - 5^{2} = (2 x - 5) (2 x + 5)

8 x^{3} - 27 = (2 x)^{3} - 3^{3} = (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)

Il binomio $4 x^{2} - 25$ è la differenza dei quadrati di $2 x$ e di $5$ , quindi si scompone nel prodotto della differenza per la somma delle basi.

Il binomio $8 x^{3} - 27$ è la differenza dei cubi di $A = 2 x$ e $B = 3$ , perciò si applica la formula $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ : il primo fattore è $2 x - 3$ , il secondo è $A^{2} + A B + B^{2} = 4 x^{2} + 6 x + 9$ . Il secondo fattore è un falso quadrato privo di radici reali, quindi la scomposizione è completa.

Esercizio 3

Scomporre in fattori $2 x^{3} - 8 x$ e $3 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 3 x y^{3}$ .

2 x^{3} - 8 x = 2 x (x^{2} - 4) = 2 x (x - 2) (x + 2)

3 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 3 x y^{3} = 3 x y (x^{2} + 2 x y + y^{2}) = 3 x y (x + y)^{2}

Nel primo polinomio tutti i termini contengono il fattore $2 x$ , quindi il primo passo è il raccoglimento totale di $2 x$ . Il fattore rimasto $x^{2} - 4$ è una differenza di quadrati, perciò si scompone in $(x - 2) (x + 2)$ e la fattorizzazione è completa.

Nel secondo polinomio il fattore comune è $3 x y$ e il raccoglimento totale lascia $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ . Questo trinomio contiene i quadrati di $x$ e di $y$ e il doppio prodotto $2 x y$ con segno positivo, quindi è il quadrato del binomio $x + y$ .