Esercizi svolti · Scheda 3

Contronominali e inverse di implicazioni

Teoria usata: Implicazione Inversa e contronominale Negazione dell'implicazione

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Esercizio 1

Data, per $x$ reale, l’implicazione “se $x > 2$ allora $x^{2} > 4$ ”, scrivere la contronominale e l’inversa e stabilire il valore di verità di ciascuna.

Contronominale.

x^{2} \leq 4 ⟹ x \leq 2 vera

Inversa.

x^{2} > 4 ⟹ x > 2 falsa: per x = - 3 si ha 9 > 4 e - 3 \leq 2

La contronominale scambia ipotesi e tesi e le nega entrambe: la negazione di $x^{2} > 4$ è $x^{2} \leq 4$ e la negazione di $x > 2$ è $x \leq 2$ . L’implicazione di partenza è vera, perché da $x > 2$ , moltiplicando la disuguaglianza per $x > 0$ , segue $x^{2} > 2 x > 4$ ; la contronominale è equivalente all’implicazione di partenza, quindi è vera anche lei.

L’inversa scambia ipotesi e tesi senza negarle. Per stabilirne il valore di verità si cerca un valore con il quadrato maggiore di $4$ e la base minore o uguale a $2$ : il valore $x = - 3$ soddisfa $x^{2} = 9 > 4$ e nega $x > 2$ , quindi l’inversa è falsa. L’esempio mostra che la verità di un’implicazione lascia indeterminata la verità della sua inversa.

Esercizio 2

Data, per $n$ naturale, l’implicazione “se $n$ è multiplo di $10$ , allora $n$ è multiplo di $5$ ”, scrivere la contronominale, l’inversa e la negazione, e stabilire il valore di verità di ciascuna.

Contronominale. “Se $n$ è un numero naturale che ha resto diverso da zero nella divisione per $5$ , allora $n$ ha resto diverso da zero nella divisione per $10$ ”: vera.

Inversa. “Se $n$ è multiplo di $5$ , allora $n$ è multiplo di $10$ ”: falsa, per $n = 15$ .

Negazione.

\exists n \in N : n \overset{e}{ˋ} multiplo di 10 \land n ha resto diverso da zero nella divisione per 5

falsa.

L’implicazione di partenza è vera: se $n$ è multiplo di $10$ , allora $n = 10 k$ con $k$ naturale, quindi $n = 5 \cdot 2 k$ è multiplo di $5$ . La contronominale nega la tesi e l’ipotesi e le scambia; essendo equivalente all’implicazione di partenza, è vera.

L’inversa afferma che ogni multiplo di $5$ è multiplo di $10$ . Il numero $15 = 5 \cdot 3$ è multiplo di $5$ e la divisione $15 : 10$ ha resto $5$ , quindi $n = 15$ è un controesempio e l’inversa è falsa.

La negazione di un’implicazione è una congiunzione: ipotesi vera e tesi falsa. Poiché l’implicazione vale per ogni $n$ , la sua negazione chiede l’esistenza di un multiplo di $10$ con resto diverso da zero nella divisione per $5$ . L’implicazione di partenza è vera per ogni $n$ , perciò un numero con queste proprietà non esiste e la negazione è falsa.

Esercizio 3

Scrivere la negazione di

\forall x \in R : x > 1 ⟹ x^{2} > x

e stabilire quale tra la proposizione e la sua negazione è vera.

\neg (\forall x \in R : x > 1 \Rightarrow x^{2} > x) \equiv \exists x \in R : x > 1 \land x^{2} \leq x

x > 1 ⟹ x \cdot x > 1 \cdot x ⟹ x^{2} > x

È vera la proposizione di partenza.

La negazione si costruisce in due passi. Il quantificatore universale diventa esistenziale; il predicato è un’implicazione, e la negazione di un’implicazione è la congiunzione dell’ipotesi con la negazione della tesi, quindi $x > 1 \land x^{2} \leq x$ .

Per il valore di verità si dimostra l’implicazione di partenza. Da $x > 1$ segue in particolare $x > 0$ ; moltiplicando entrambi i membri della disuguaglianza $x > 1$ per il numero positivo $x$ , il verso si conserva e si ottiene $x^{2} > x$ . L’implicazione vale per ogni $x$ reale, quindi la proposizione di partenza è vera e la sua negazione è falsa.