Esercizi svolti · Scheda 1

Negazioni di proposizioni con quantificatori

Teoria usata: Quantificatore universale ed esistenziale Negazione dei quantificatori Leggi di De Morgan

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Esercizio 1

Scrivere la negazione di

\forall x \in R : x^{2} + 1 > 0

e stabilire quale tra la proposizione e la sua negazione è vera.

\neg (\forall x \in R : x^{2} + 1 > 0) \equiv \exists x \in R : x^{2} + 1 \leq 0

x^{2} \geq 0 per ogni x \in R ⟹ x^{2} + 1 \geq 1 > 0

È vera la proposizione di partenza.

La negazione di una proposizione universale è una proposizione esistenziale: il quantificatore $\forall$ diventa $\exists$ e il predicato si nega, quindi la disuguaglianza $x^{2} + 1 > 0$ diventa $x^{2} + 1 \leq 0$ . La negazione di “maggiore” è “minore o uguale”, perché i casi possibili per un confronto sono tre e negarne uno lascia gli altri due.

Per decidere quale delle due proposizioni è vera si parte dal fatto che il quadrato di ogni numero reale è maggiore o uguale a zero; sommando $1$ a entrambi i membri si ottiene $x^{2} + 1 \geq 1$ , quindi $x^{2} + 1 > 0$ per ogni $x$ reale. La proposizione di partenza è dunque vera e la sua negazione è falsa.

Esercizio 2

Scrivere la negazione di

\exists x \in R : x^{2} + 4 x + 5 = 0

e stabilire quale tra la proposizione e la sua negazione è vera.

\neg (\exists x \in R : x^{2} + 4 x + 5 = 0) \equiv \forall x \in R : x^{2} + 4 x + 5 \neq = 0

x^{2} + 4 x + 5 = x^{2} + 4 x + 4 + 1 = (x + 2)^{2} + 1 \geq 1

È vera la negazione.

La negazione scambia $\exists$ con $\forall$ e nega il predicato, quindi l’uguaglianza $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ diventa la disuguaglianza $x^{2} + 4 x + 5 \neq = 0$ .

Per stabilire quale proposizione è vera si completa il quadrato: il trinomio contiene $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ , quindi si riscrive come $(x + 2)^{2} + 1$ . Poiché $(x + 2)^{2} \geq 0$ per ogni $x$ reale, la somma è maggiore o uguale a $1$ , perciò il trinomio è diverso da zero per ogni $x$ . L’equazione è quindi priva di soluzioni reali: la proposizione di partenza è falsa e la sua negazione è vera.

Esercizio 3

Scrivere la negazione di

\forall x \in R \exists y \in R : x + y = 0 \land y \leq 0

e stabilire quale tra la proposizione e la sua negazione è vera.

\neg (\forall x \in R \exists y \in R : x + y = 0 \land y \leq 0) \equiv \exists x \in R \forall y \in R : x + y \neq = 0 \lor y > 0

x = - 1 : x + y = 0 ⟺ y = 1, 1 > 0

È vera la negazione.

Con due quantificatori la negazione procede dall’esterno verso l’interno: $\forall x$ diventa $\exists x$ , $\exists y$ diventa $\forall y$ , e alla fine si nega il predicato. Il predicato è una congiunzione, quindi per le leggi di De Morgan la sua negazione è la disgiunzione delle negazioni: $x + y \neq = 0$ oppure $y > 0$ .

La proposizione di partenza chiede, per ogni $x$ , un $y$ che sia insieme opposto di $x$ e minore o uguale a zero. L’unico $y$ con $x + y = 0$ è $y = - x$ , quindi per $x = - 1$ l’unico candidato è $y = 1$ , che è positivo; per $x = - 1$ le due condizioni sono quindi incompatibili e la proposizione di partenza è falsa. Di conseguenza la negazione è vera, e la verifica diretta con $x = - 1$ lo conferma: per ogni $y$ diverso da $1$ la somma $x + y$ è diversa da zero, mentre per $y = 1$ vale $y > 0$ , quindi ogni $y$ soddisfa almeno una delle due alternative.