Esercizi svolti · Scheda 1

Equazioni goniometriche elementari

Teoria usata: Equazioni elementari Valori notevoli Circonferenza goniometrica, seno e coseno

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Esercizio 1

Risolvere l’equazione

sin x = \frac{2}{2} .

Dalla tabella dei valori notevoli, un angolo con seno $\frac{2}{2}$ è $α = \frac{π}{4}$ . Le due famiglie di soluzioni sono

x = \frac{π}{4} + 2 nπ oppure x = π - \frac{π}{4} + 2 nπ = \frac{3 π}{4} + 2 nπ, n \in Z .

Soluzioni: $x = \frac{π}{4} + 2 nπ$ oppure $x = \frac{3 π}{4} + 2 nπ$ , con $n \in Z$ .

L’equazione è elementare, quindi si cerca prima un angolo $α$ con $sin α = \frac{2}{2}$ , e la tabella dei valori notevoli dà $α = \frac{π}{4}$ . Sulla circonferenza goniometrica i punti di ordinata $\frac{2}{2}$ sono due, simmetrici rispetto all’asse delle ordinate: quello di angolo $\frac{π}{4}$ e quello di angolo supplementare $\frac{3 π}{4}$ . Poiché il seno è periodico di periodo $2 π$ , a ciascun angolo si aggiunge $2 nπ$ e si ottengono le due famiglie di soluzioni.

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

2 cos x + 1 = 0.

Si isola il coseno:

cos x = - \frac{1}{2} .

Un angolo con coseno $- \frac{1}{2}$ è $α = \frac{2 π}{3}$ , poiché $cos \frac{2 π}{3} = - cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$ . Le soluzioni sono

x = \frac{2 π}{3} + 2 nπ oppure x = - \frac{2 π}{3} + 2 nπ, n \in Z .

Soluzioni: $x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 nπ$ , con $n \in Z$ .

L’equazione non è ancora in forma elementare, quindi si isola prima la funzione goniometrica portando il termine noto a destra e dividendo per $2$ . Il valore $- \frac{1}{2}$ si ottiene con gli angoli associati a partire da $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , poiché l’angolo supplementare $\frac{2 π}{3}$ ha coseno opposto. Sulla circonferenza goniometrica i punti di ascissa $- \frac{1}{2}$ sono due, simmetrici rispetto all’asse delle ascisse, e corrispondono agli angoli $\frac{2 π}{3}$ e $- \frac{2 π}{3}$ ; aggiungendo i giri interi si ottengono le due famiglie, che si scrivono in modo compatto con il doppio segno.

Esercizio 3

Risolvere l’equazione

tan x = - 1.

L’equazione ha senso per $cos x \neq = 0$ , cioè per $x \neq = \frac{π}{2} + nπ$ . Un angolo con tangente $- 1$ è $α = - \frac{π}{4}$ , poiché

tan (- \frac{π}{4}) = \frac{sin ( - \frac{π}{4} )}{cos ( - \frac{π}{4} )} = \frac{- \frac{2}{2}}{\frac{2}{2}} = - 1.

La tangente ha periodo $π$ , quindi le soluzioni sono

x = - \frac{π}{4} + nπ, n \in Z .

Soluzioni: $x = - \frac{π}{4} + nπ$ , con $n \in Z$ ; la famiglia si scrive anche $x = \frac{3 π}{4} + nπ$ .

Prima di risolvere si osserva il dominio, poiché la tangente è definita solo dove il coseno non si annulla; le soluzioni trovate non cadono in quei punti, dato che $- \frac{π}{4} + nπ$ non è mai della forma $\frac{π}{2} + nπ$ . L’angolo $- \frac{π}{4}$ ha tangente $- 1$ perché seno e coseno hanno lo stesso valore assoluto e segni opposti, quindi il loro rapporto vale $- 1$ . A differenza di seno e coseno, la tangente ha periodo $π$ , perciò la soluzione generale si ottiene aggiungendo $nπ$ e basta una sola famiglia. La scrittura con $\frac{3 π}{4}$ descrive lo stesso insieme, dato che $\frac{3 π}{4} = - \frac{π}{4} + π$ .