Esercizi svolti · Scheda 6

Sistemi di disequazioni

Teoria usata: Sistema di disequazioni Disequazione di primo grado Segno del trinomio di secondo grado Disequazioni fratte

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Esercizio 1

Risolvere il sistema

{2 x - 1 > 0 3 - x \geq 0

2 x - 1 > 0 ⟹ x > \frac{1}{2}

3 - x \geq 0 ⟹ x \leq 3

\frac{1}{2} < x \leq 3

Le due disequazioni sono di primo grado e si risolvono separatamente: la prima isolando $x$ dopo aver sommato $1$ ai due membri e diviso per $2$ , la seconda sommando $x$ ai due membri.

Le soluzioni del sistema sono i punti che soddisfano entrambe le condizioni, quindi l’intersezione della semiretta $x > \frac{1}{2}$ con la semiretta $x \leq 3$ . Le due semirette hanno in comune l’intervallo $\frac{1}{2} < x \leq 3$ , con il primo estremo escluso e il secondo incluso, in accordo con i versi delle due disequazioni.

Esercizio 2

Risolvere il sistema

{x^{2} - 5 x + 6 \geq 0 x + 2 > 0

x^{2} - 5 x + 6 = 0 : Δ = 25 - 24 = 1, x = \frac{5 \pm 1}{2}, x_{1} = 2, x_{2} = 3

x^{2} - 5 x + 6 \geq 0 ⟹ x \leq 2 oppure x \geq 3

x + 2 > 0 ⟹ x > - 2

- 2 < x \leq 2 oppure x \geq 3

La prima disequazione è di secondo grado con discriminante positivo e radici $2$ e $3$ ; il coefficiente direttore è positivo, quindi il trinomio è positivo fuori dall’intervallo delle radici e nullo nelle radici, e il verso $\geq$ include le radici. La seconda disequazione è di primo grado e dà $x > - 2$ .

L’intersezione si legge sulla retta reale: dalla parte $x \leq 2$ sopravvive il tratto con $x > - 2$ , cioè $- 2 < x \leq 2$ ; la semiretta $x \geq 3$ è interamente contenuta in $x > - 2$ , quindi resta tutta. Le soluzioni del sistema sono $- 2 < x \leq 2$ oppure $x \geq 3$ .

Esercizio 3

Risolvere il sistema

⎩ ⎨ ⎧ x^{2} - 9 \leq 0 \frac{x + 1}{x - 2} \geq 0

x^{2} - 9 \leq 0 ⟹ - 3 \leq x \leq 3

\frac{x + 1}{x - 2} \geq 0 ⟹ x \leq - 1 oppure x > 2

- 3 \leq x \leq - 1 oppure 2 < x \leq 3

La prima disequazione equivale a $x^{2} \leq 9$ e ha per soluzioni l’intervallo chiuso $[- 3, 3]$ , poiché il trinomio $x^{2} - 9$ ha radici $\pm 3$ ed è negativo tra le radici. La seconda è una disequazione fratta: il numeratore è positivo per $x > - 1$ e il denominatore per $x > 2$ , quindi il quoziente è positivo dove i segni sono concordi, cioè per $x < - 1$ e per $x > 2$ . Il verso $\geq$ include lo zero del numeratore $x = - 1$ ed esclude $x = 2$ , che annulla il denominatore.

L’intersezione dei due insiemi si ottiene sulla retta reale: dall’intervallo $[- 3, 3]$ sopravvivono il tratto $- 3 \leq x \leq - 1$ , comune alla semiretta $x \leq - 1$ , e il tratto $2 < x \leq 3$ , comune alla semiretta $x > 2$ . Queste due parti sono le soluzioni del sistema.