Esercizi svolti · Scheda 3

Disequazioni di secondo grado

Teoria usata: Segno del trinomio di secondo grado Discriminante

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Esercizio 1

Risolvere la disequazione

x^{2} - x - 6 \leq 0.

x^{2} - x - 6 = 0 : Δ = 1 + 24 = 25, x = \frac{1 \pm 5}{2}

x_{1} = - 2, x_{2} = 3

- 2 \leq x \leq 3

Il discriminante dell’equazione associata vale $25 > 0$ , quindi il trinomio ha le due radici $- 2$ e $3$ . Il coefficiente direttore è $1 > 0$ , perciò la parabola ha concavità verso l’alto e il trinomio è negativo tra le radici, nullo nelle radici, positivo fuori.

La disequazione chiede i punti in cui il trinomio è negativo oppure nullo, quindi le soluzioni sono i punti dell’intervallo tra le radici, estremi compresi: $- 2 \leq x \leq 3$ .

Esercizio 2

Risolvere le disequazioni

4 x^{2} - 4 x + 1 > 0 e 4 x^{2} - 4 x + 1 \leq 0.

Δ = 16 - 16 = 0, x_{0} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

4 x^{2} - 4 x + 1 > 0 ⟹ x \neq = \frac{1}{2}

4 x^{2} - 4 x + 1 \leq 0 ⟹ x = \frac{1}{2}

Il discriminante è nullo, quindi il trinomio ha la sola radice doppia $x_{0} = \frac{1}{2}$ e si scrive come quadrato: $4 x^{2} - 4 x + 1 = (2 x - 1)^{2}$ . Un quadrato è positivo in ogni punto diverso dalla radice della base e nullo nella radice.

La prima disequazione chiede dove il quadrato è positivo, perciò le soluzioni sono tutti i reali diversi da $\frac{1}{2}$ . La seconda chiede dove il quadrato è negativo oppure nullo; poiché un quadrato non è mai negativo, l’unica soluzione è il punto $x = \frac{1}{2}$ in cui si annulla.

Esercizio 3

Risolvere le disequazioni

x^{2} + x + 1 > 0 e - 2 x^{2} + 3 x - 4 \geq 0.

x^{2} + x + 1 > 0 : Δ = 1 - 4 = - 3 < 0 ⟹ ogni x \in R

- 2 x^{2} + 3 x - 4 \geq 0 ⟹ 2 x^{2} - 3 x + 4 \leq 0, Δ = 9 - 32 = - 23 < 0

La prima disequazione è soddisfatta da ogni $x$ reale; la seconda non ha soluzioni.

Nella prima disequazione il discriminante è negativo e il coefficiente direttore è positivo, quindi la parabola sta interamente sopra l’asse $x$ e il trinomio è positivo in ogni punto. Ogni numero reale è perciò soluzione.

La seconda disequazione ha coefficiente direttore negativo, quindi si moltiplicano i due membri per $- 1$ invertendo il verso, e la disequazione diventa $2 x^{2} - 3 x + 4 \leq 0$ . Il discriminante vale $- 23 < 0$ e il coefficiente direttore è positivo, perciò il trinomio $2 x^{2} - 3 x + 4$ è positivo in ogni punto e non è mai minore o uguale a zero. La disequazione non ha quindi soluzioni.