Esercizi svolti · Scheda 1

Equazioni di secondo grado

Teoria usata: Formula risolutiva Discriminante Equazioni incomplete Legge di annullamento del prodotto

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Esercizio 1

Risolvere le equazioni incomplete

2 x^{2} - 6 x = 0 e 3 x^{2} - 12 = 0.

2 x^{2} - 6 x = 0 ⟹ 2 x (x - 3) = 0 ⟹ x = 0 oppure x = 3

3 x^{2} - 12 = 0 ⟹ x^{2} = 4 ⟹ x = \pm 2

La prima equazione è spuria, perché manca il termine noto, quindi si raccoglie il fattore comune $2 x$ . Per la legge di annullamento del prodotto, il prodotto $2 x (x - 3)$ è nullo quando $2 x = 0$ oppure $x - 3 = 0$ , perciò le soluzioni sono $0$ e $3$ .

La seconda equazione è pura, perché manca il termine di primo grado. Isolando $x^{2}$ si ottiene $x^{2} = 4$ ; poiché $4 > 0$ , le soluzioni sono i due numeri con quadrato $4$ , cioè $2$ e $- 2$ .

Esercizio 2

Risolvere l’equazione

2 x^{2} + x - 3 = 0.

Δ = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 1 + 24 = 25

x = \frac{- 1 \pm 25}{2 \cdot 2} = \frac{- 1 \pm 5}{4}

x_{1} = \frac{- 1 - 5}{4} = - \frac{3}{2}, x_{2} = \frac{- 1 + 5}{4} = 1

L’equazione è completa, con $a = 2$ , $b = 1$ e $c = - 3$ , quindi si applica la formula risolutiva. Il discriminante vale $25 > 0$ , perciò esistono due soluzioni reali distinte.

La radice quadrata del discriminante è $5$ e la formula fornisce i due valori $\frac{- 1 - 5}{4} = - \frac{3}{2}$ e $\frac{- 1 + 5}{4} = 1$ . La verifica per sostituzione conferma il risultato: per $x = 1$ si ottiene $2 + 1 - 3 = 0$ .

Esercizio 3

Risolvere le equazioni

4 x^{2} - 12 x + 9 = 0 e x^{2} + 2 x + 5 = 0.

4 x^{2} - 12 x + 9 = 0 : Δ = 144 - 144 = 0, x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

x^{2} + 2 x + 5 = 0 : Δ = 4 - 20 = - 16 < 0

La prima equazione ha la soluzione doppia $x = \frac{3}{2}$ ; la seconda non ha soluzioni reali.

Nella prima equazione il discriminante è nullo, quindi esiste una sola soluzione reale, doppia, data da $x = - \frac{b}{2 a} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ . Il trinomio è infatti un quadrato di binomio, poiché $4 x^{2} - 12 x + 9 = (2 x - 3)^{2}$ , e un quadrato si annulla solo dove si annulla la base.

Nella seconda equazione il discriminante è negativo, perciò la formula risolutiva richiederebbe la radice quadrata di un numero negativo, che non esiste nei numeri reali. L’equazione non ha quindi soluzioni reali.