Integrali espliciti di funzioni illimitate

L’integranda tende a $+\infty$ per $x\to 0^{+}$, quindi il punto critico è $0$: per la definizione si integra su $[t,1]$ con $t>0$ e si passa al limite per $t\to 0^{+}$. Una primitiva di $x^{-1/2}$ è $2x^{1/2}=2\sqrt{x}$. Per $t\to 0^{+}$ il termine $2\sqrt{t}$ tende a $0$, perciò l’integrale converge e vale $2$. Il risultato è coerente con il campione delle potenze in $0$, poiché l’esponente $\alpha =\frac{1}{2}$ è minore di $1$ e il valore previsto è $\frac{1}{1-\alpha }=2$.

Il punto critico è l’estremo superiore $4$, dove il denominatore si annulla e l’integranda tende a $+\infty$, quindi si integra su $[0,t]$ con $t<4$ e si passa al limite per $t\to 4^{-}$. Una primitiva di $(4-x{)}^{-1/2}$ è $-2\sqrt{4-x}$, perché derivando con la regola della catena si ottiene $-2\cdot \frac{-1}{2\sqrt{4-x}}=\frac{1}{\sqrt{4-x}}$. In $x=0$ la primitiva vale $-4$, quindi l’integrale su $[0,t]$ vale $4-2\sqrt{4-t}$. Per $t\to 4^{-}$ la radice $\sqrt{4-t}$ tende a $0$, perciò l’integrale converge e vale $4$.

Il logaritmo tende a $-\infty$ per $x\to 0^{+}$, quindi l’integranda è illimitata vicino a $0$ e l’integrale è improprio con punto critico $0$. Una primitiva di $\ln x$ è $x\ln x-x$, come si verifica derivando, poiché la derivata è $\ln x+1-1=\ln x$. Nell’estremo $1$ la primitiva vale $-1$, quindi resta da calcolare il limite di $t\ln t$ per $t\to 0^{+}$. Con la sostituzione $s=\frac{1}{t}$ il prodotto diventa $-\frac{\ln s}{s}$, che tende a $0$ per la gerarchia degli infiniti (capitolo sui limiti). L’integrale converge dunque al valore $-1$; il segno negativo corrisponde al segno del logaritmo, che su $(0,1)$ è negativo.