Teoria

Serie numeriche

Che cosa significa sommare infiniti termini, con quali criteri si stabilisce il carattere di una serie, e come si studia una serie di potenze.

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Richiamo sulle successioni
Serie, somme parziali e carattere
Serie di riferimento
La condizione necessaria

Richiamo sulle successioni

Due risultati sulle successioni che vengono usati in tutto il capitolo.

Limite di una successione

Una successione è una funzione $a : N \to R$ ; il valore in $n$ si scrive $a_{n}$ . Si scrive $n \to + \infty lim a_{n} = L$ , con $L \in R$ , se per ogni $ε > 0$ esiste $N$ tale che $∣ a_{n} - L ∣ < ε$ per ogni $n > N$ ; si scrive $n \to + \infty lim a_{n} = + \infty$ se per ogni $M > 0$ esiste $N$ tale che $a_{n} > M$ per ogni $n > N$ , e analogamente per $- \infty$ . Una successione con limite finito si dice convergente, una con limite infinito divergente, una senza limite indeterminata. Per i limiti di successione valgono i teoremi del capitolo sui limiti: unicità, permanenza del segno, confronto, algebra dei limiti, limiti notevoli e gerarchia degli infiniti.

$a_{n} = \frac{1}{n}$ converge a $0$ .
$a_{n} = n^{2}$ diverge a $+ \infty$ .
$a_{n} = (- 1)^{n}$ è indeterminata, perché i valori oscillano tra $- 1$ e $1$ .

Successioni monotone limitate

Una successione crescente e limitata superiormente converge, e il limite è l’estremo superiore dei suoi valori; una successione crescente e illimitata superiormente diverge a $+ \infty$ . Per le successioni decrescenti valgono gli enunciati simmetrici. Quindi una successione monotona ammette sempre limite, finito oppure infinito. La dimostrazione usa le proprietà dell’estremo superiore e si omette. Il teorema regge l’intera sezione sulle serie a termini non negativi, perché le loro somme parziali sono crescenti.

Serie, somme parziali e carattere

Serie, convergenza, somma

Data una successione $(a_{n})$ , la serie di termine generale $a_{n}$ è la successione delle somme parziali

s_{N} = n = 1 \sum N a_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{N} .

In base al limite delle somme parziali, la serie $n = 1 \sum \infty a_{n}$

converge, con somma $s \in R$ , se $s_{N} \to s$ ; in questo caso si scrive $n = 1 \sum \infty a_{n} = s$ ;
diverge a $+ \infty$ oppure a $- \infty$ , se $s_{N} \to + \infty$ oppure $s_{N} \to - \infty$ ;
è indeterminata, se $s_{N}$ non ammette limite.

Studiare il carattere di una serie significa stabilire in quale dei tre casi si trova. Per esempio $n = 1 \sum \infty (- 1)^{n}$ ha somme parziali $- 1, 0, - 1, 0, \dots$ , che non ammettono limite, quindi la serie è indeterminata.

Osservazione

Il carattere di una serie non dipende dai primi termini: se si modifica un numero finito di termini, da un certo indice in poi le somme parziali cambiano di una costante, quindi convergenza, divergenza e indeterminazione si conservano, mentre la somma in generale cambia. Per questo nei criteri le ipotesi sono richieste definitivamente, cioè da un certo indice in poi, e l’indice iniziale della serie si sceglie dove il termine generale è definito.

Serie di riferimento

Tre serie di cui si conoscono carattere e, nei primi due casi, la somma.

Serie geometrica

Per $q \in R$ , la serie $n = 0 \sum \infty q^{n}$

converge se $∣ q ∣ < 1$ , con somma $\frac{1}{1 - q}$ ;
diverge a $+ \infty$ se $q \geq 1$ ;
è indeterminata se $q \leq - 1$ .

Per $∣ q ∣ < 1$ e indice iniziale qualunque vale $n = n_{0} \sum \infty q^{n} = \frac{q ^{n_{0}}}{1 - q}$ : la somma è il primo termine diviso $1 - q$ . È una delle poche serie di cui si conosce la somma, e serve da termine di confronto nei criteri del rapporto e della radice.

Dimostrazione

Per $q \neq = 1$ , dall’identità $(1 - q) (1 + q + \dots + q^{N}) = 1 - q^{N + 1}$ segue

s_{N} = n = 0 \sum N q^{n} = \frac{1 - q ^{N + 1}}{1 - q} .

Se $∣ q ∣ < 1$ , allora $q^{N + 1} \to 0$ , quindi $s_{N} \to \frac{1}{1 - q}$ . Se $q > 1$ , allora $q^{N + 1} \to + \infty$ , quindi $s_{N} = \frac{q ^{N + 1} - 1}{q - 1} \to + \infty$ . Se $q = 1$ , allora $s_{N} = N + 1 \to + \infty$ . Se $q \leq - 1$ , la successione $q^{N + 1}$ cambia segno a ogni passo senza tendere a $0$ , quindi non ammette limite, e perciò nemmeno $s_{N}$ lo ammette: la serie è indeterminata.

Somma di una serie geometrica

n = 1 \sum \infty \frac{1}{2 ^{n}} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1

La ragione è $q = \frac{1}{2}$ , con $∣ q ∣ < 1$ , e il primo termine è $\frac{1}{2}$ , quindi la somma è il primo termine diviso $1 - q$ .

Serie telescopica

Una serie è telescopica se il termine generale si scrive $a_{n} = b_{n} - b_{n + 1}$ per una successione $(b_{n})$ . In tal caso i termini intermedi si cancellano e

s_{N} = n = 1 \sum N (b_{n} - b_{n + 1}) = b_{1} - b_{N + 1},

quindi la serie converge se e solo se $(b_{n})$ converge, e la somma è $b_{1} - n \to + \infty lim b_{n}$ . È il secondo caso in cui la somma si calcola esattamente; la scrittura $a_{n} = b_{n} - b_{n + 1}$ si ottiene in genere con la decomposizione in fratti semplici.

Serie di Mengoli

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1

Poiché $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ , la serie è telescopica con $b_{n} = \frac{1}{n}$ , quindi $s_{N} = 1 - \frac{1}{N + 1} \to 1$ .

Serie armonica

La serie armonica

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}

diverge a $+ \infty$ , anche se il termine generale tende a $0$ . È il termine di confronto per molte serie divergenti ed è il controesempio che mostra la non sufficienza della condizione necessaria.

Dimostrazione

Si raggruppano i termini in blocchi: per ogni $k \geq 1$ , il blocco dei termini di indice da $2^{k - 1} + 1$ a $2^{k}$ contiene $2^{k - 1}$ termini, ciascuno maggiore o uguale a $\frac{1}{2 ^{k}}$ , quindi

\frac{1}{2 ^{k - 1} + 1} + \dots + \frac{1}{2 ^{k}} \geq 2^{k - 1} \cdot \frac{1}{2 ^{k}} = \frac{1}{2} .

Sommando i primi $K$ blocchi si ottiene $s_{2^{K}} \geq 1 + \frac{K}{2}$ , quindi la sottosuccessione $s_{2^{K}}$ tende a $+ \infty$ . Le somme parziali sono crescenti, perché i termini sono positivi, perciò anche $s_{N} \to + \infty$ .

Serie armonica generalizzata

Per $α \in R$ , la serie $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{α}}$

converge se $α > 1$ ;
diverge a $+ \infty$ se $α \leq 1$ .

È la scala di riferimento del confronto asintotico: il carattere di molte serie si decide confrontando il termine generale con $\frac{1}{n ^{α}}$ . La dimostrazione segue dal criterio dell’integrale con $f (x) = \frac{1}{x ^{α}}$ e si rimanda al capitolo sugli integrali impropri.

La condizione necessaria

Condizione necessaria di convergenza

Se $n = 1 \sum \infty a_{n}$ converge, allora $a_{n} \to 0$ . In forma equivalente: se il termine generale non tende a $0$ , la serie non converge. È il primo controllo da fare su ogni serie, perché esclude subito la convergenza quando il termine generale non è infinitesimo.

n = 1 \sum \infty \frac{n}{n + 1} non converge, perch \overset{e}{ˊ} \frac{n}{n + 1} \to 1 \neq = 0;

i termini sono positivi, quindi le somme parziali crescono e la serie diverge a $+ \infty$ .

Dimostrazione

Sia $s$ la somma della serie. Poiché $a_{N} = s_{N} - s_{N - 1}$ e le due successioni $s_{N}$ e $s_{N - 1}$ tendono entrambe a $s$ , per l’algebra dei limiti $a_{N} \to s - s = 0$ .

Attenzione

La condizione è necessaria e non sufficiente: da $a_{n} \to 0$ non segue la convergenza. La serie armonica $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}$ ha termine generale infinitesimo e diverge a $+ \infty$ .

La teoria continua con 4 altri paragrafi (serie a termini non negativi, serie a segno variabile, operazioni sulle serie…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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