Teoria

Studio di funzione

Lo schema completo dello studio, i criteri per massimi, minimi e flessi, la convessità e la costruzione del grafico qualitativo.

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Lo schema dello studio
Monotonia e punti stazionari
Massimi e minimi relativi
Criteri per la natura dei punti stazionari

Lo schema dello studio

Schema dello studio di funzione

Studiare una funzione significa ricavare dalla sua espressione le proprietà che ne determinano il grafico. Ogni passo è fondato su un risultato della teoria:

dominio: condizioni di esistenza dell’espressione (denominatori non nulli, argomenti dei logaritmi positivi, radicandi delle radici di indice pari non negativi), da imporre in sistema quando sono più di una;
simmetrie e periodicità: $f (- x) = f (x)$ per una funzione pari (grafico simmetrico rispetto all’asse $y$ ), $f (- x) = - f (x)$ per una dispari (grafico simmetrico rispetto all’origine), $f (x + T) = f (x)$ per una periodica, che si studia su un solo periodo;
segno e intersezioni con gli assi: la disequazione $f (x) > 0$ e l’equazione $f (x) = 0$ ; quando l’equazione non si risolve per via algebrica, gli zeri si localizzano con il teorema degli zeri;
limiti agli estremi del dominio e asintoti: definizioni di limite e di asintoto del capitolo sui limiti;
continuità: teorema di continuità delle funzioni elementari e delle operazioni tra funzioni continue;
derivabilità e derivata prima: regole di derivazione del capitolo sulle derivate; nei punti di raccordo, limite del rapporto incrementale oppure limiti laterali di $f^{'}$ ;
monotonia e punti stazionari: test di monotonia;
massimi e minimi relativi e assoluti: teorema di Fermat, criterio della derivata prima, criterio della derivata seconda, teorema di Weierstrass;
concavità, convessità e punti di flesso: caratterizzazione della convessità con la derivata seconda;
grafico qualitativo: sintesi di tutte le informazioni in un disegno coerente.

Osservazione

I passi si controllano a vicenda. Se dal segno risulta $f (x) > 0$ su un intervallo e dal calcolo dei limiti risulta $f (x) \to - \infty$ in un suo estremo, almeno uno dei due risultati è sbagliato; se la funzione è pari, massimi, minimi e flessi compaiono in coppie simmetriche. Un controllo di coerenza tra i passi individua gli errori di calcolo prima del disegno del grafico.

Monotonia e punti stazionari

Test di monotonia

Sia $f$ continua su un intervallo $I$ e derivabile nei punti interni di $I$ .

Se $f^{'} (x) > 0$ in ogni punto interno, $f$ è strettamente crescente su $I$ .
Se $f^{'} (x) < 0$ in ogni punto interno, $f$ è strettamente decrescente su $I$ .
Se $f^{'} (x) = 0$ in ogni punto interno, $f$ è costante su $I$ .

Il teorema segue dal teorema di Lagrange e la dimostrazione si trova nel capitolo sulle derivate. Nello studio di funzione si risolve la disequazione $f^{'} (x) > 0$ e si riporta il risultato nella tabella dei segni: su ogni intervallo in cui $f^{'}$ ha segno costante la monotonia è determinata.

Punto stazionario

Un punto $x_{0}$ interno al dominio, con $f$ derivabile in $x_{0}$ e $f^{'} (x_{0}) = 0$ , si dice stazionario: la retta tangente in $(x_{0}, f (x_{0}))$ è orizzontale. I punti stazionari sono i candidati naturali per massimi e minimi relativi interni, e la loro natura si stabilisce con i criteri della derivata prima e della derivata seconda.

Attenzione

Il test di monotonia vale su un intervallo, non su un’unione di intervalli. Per $f (x) = \frac{1}{x}$ si ha $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} < 0$ in ogni punto del dominio, quindi $f$ è decrescente su $(- \infty, 0)$ e su $(0, + \infty)$ separatamente; sull’unione non lo è, perché $f (- 1) = - 1 < 1 = f (1)$ .

Massimi e minimi relativi

Massimo e minimo relativo

$f : A \to R$ . Un punto $x_{0} \in A$ è di massimo relativo se esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ tale che $f (x) \leq f (x_{0})$ per ogni $x \in U \cap A$ ; è di minimo relativo se nelle stesse condizioni $f (x) \geq f (x_{0})$ . Il valore $f (x_{0})$ si chiama massimo (o minimo) relativo, il punto $x_{0}$ punto di massimo (o di minimo). La ricerca di questi punti si fonda sul teorema di Fermat, dimostrato nel capitolo sulle derivate.

Osservazione

Il teorema di Fermat riduce la ricerca dei massimi e dei minimi relativi a tre famiglie di candidati: i punti stazionari, i punti in cui $f$ non è derivabile, gli estremi del dominio, dove il teorema non si applica perché il punto non è interno. Il teorema non si inverte: $f (x) = x^{3}$ ha $f^{'} (0) = 0$ , ma $0$ non è né di massimo né di minimo, perché la funzione è strettamente crescente.

Criteri per la natura dei punti stazionari

Criterio della derivata prima

Sia $f$ continua in $x_{0}$ e derivabile in un intorno di $x_{0}$ , tranne al più $x_{0}$ stesso.

Se $f^{'} (x) > 0$ a sinistra di $x_{0}$ e $f^{'} (x) < 0$ a destra, $x_{0}$ è di massimo relativo.
Se $f^{'} (x) < 0$ a sinistra e $f^{'} (x) > 0$ a destra, $x_{0}$ è di minimo relativo.
Se $f^{'}$ ha lo stesso segno dai due lati, $x_{0}$ non è né di massimo né di minimo.

Il criterio segue dal test di monotonia applicato ai due lati di $x_{0}$ . Non richiede la derivabilità in $x_{0}$ , quindi classifica anche i punti angolosi e le cuspidi; in pratica coincide con la lettura della riga di $f^{'}$ nella tabella dei segni.

Criterio della derivata seconda

Sia $f$ derivabile due volte in $x_{0}$ con $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

Se $f^{''} (x_{0}) > 0$ , $x_{0}$ è di minimo relativo.
Se $f^{''} (x_{0}) < 0$ , $x_{0}$ è di massimo relativo.
Se $f^{''} (x_{0}) = 0$ , il criterio non decide: $x^{4}$ , $- x^{4}$ e $x^{3}$ hanno derivata prima e seconda nulle in $0$ , che è rispettivamente punto di minimo, punto di massimo, né l’uno né l’altro.

Il criterio è comodo quando lo studio del segno di $f^{'}$ è laborioso e il valore $f^{''} (x_{0})$ si calcola in fretta.

Criterio delle derivate successive

Sia $f$ derivabile $n$ volte in $x_{0}$ con

f^{'} (x_{0}) = f^{''} (x_{0}) = \dots = f^{(n - 1)} (x_{0}) = 0, f^{(n)} (x_{0}) \neq = 0.

Dalla formula di Taylor (capitolo sulle derivate) segue

f (x) - f (x_{0}) = \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n} + o ((x - x_{0})^{n}),

quindi vicino a $x_{0}$ la differenza $f (x) - f (x_{0})$ ha il segno del termine di Taylor.

Se $n$ è pari e $f^{(n)} (x_{0}) > 0$ , $x_{0}$ è di minimo relativo; se $f^{(n)} (x_{0}) < 0$ , di massimo relativo.
Se $n$ è dispari, $x_{0}$ non è né di massimo né di minimo; è un punto di flesso a tangente orizzontale.

Per $f (x) = x^{4}$ in $0$ le prime tre derivate sono nulle e $f^{(4)} (0) = 24 > 0$ , con $n = 4$ pari, quindi $0$ è punto di minimo.

I tre criteri sulla stessa funzione

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ , $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3)$ , punti stazionari $0$ e $3$ . Dalla derivata seconda $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 24 x$ si ha $f^{''} (3) = 36 > 0$ , quindi $3$ è punto di minimo relativo, con $f (3) = - 27$ . Poiché $f^{''} (0) = 0$ , in $0$ il criterio della derivata seconda non decide; la derivata prima è negativa sia a sinistra sia a destra di $0$ , perché il fattore $4 x^{2}$ è positivo e $x - 3 < 0$ , quindi $0$ non è né di massimo né di minimo. In alternativa $f^{'''} (0) = - 24 \neq = 0$ con $n = 3$ dispari, perciò $0$ è un flesso a tangente orizzontale.

y = x^4 - 4x^3: minimo in x = 3, flesso a tangente orizzontale in x = 0

La teoria continua con 4 altri paragrafi (massimi e minimi assoluti, funzioni convesse e concave, punti di flesso…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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