Teoria

Insiemi, induzione e funzioni elementari

Il linguaggio degli insiemi e gli insiemi numerici da N a R, il principio di induzione e il binomio di Newton, poi le funzioni elementari con i loro grafici — il bagaglio di partenza per tutta l'analisi.

In questa pagina

Il linguaggio degli insiemi
Operazioni tra insiemi
Gli insiemi numerici
Intervalli
Maggioranti, minoranti, massimo e minimo
Estremo superiore e inferiore
La completezza di R
Il principio di induzione
La somma dei primi n naturali
La disuguaglianza di Bernoulli
Il fattoriale

Il linguaggio degli insiemi

Insieme, appartenenza, inclusione

Un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi. La scrittura $x \in A$ significa che $x$ è un elemento di $A$ ; $x \in / A$ significa che non lo è. Un insieme si assegna elencando gli elementi, come ${1, 2, 3}$ , oppure indicando la proprietà che li individua: ${x \in E : P (x)}$ è l’insieme degli elementi di $E$ per cui $P (x)$ è vera. L’insieme vuoto $\emptyset$ è l’insieme privo di elementi.

$A \subseteq B$ ( $A$ è contenuto in $B$ , o $A$ è un sottoinsieme di $B$ ) significa che ogni elemento di $A$ appartiene anche a $B$ . L’uguaglianza tra insiemi equivale alla doppia inclusione:

A = B ⟺ {A \subseteq B B \subseteq A

La doppia inclusione è il metodo con cui si dimostra che due insiemi sono uguali: si verificano separatamente le due inclusioni.

Esempio

$A = {x \in R : x^{2} < 4}$ . Si ha $1 \in A$ perché $1^{2} = 1 < 4$ , e $3 \in / A$ perché $3^{2} = 9 \geq 4$ . Inoltre ${0, 1} \subseteq A$ , perché entrambi gli elementi soddisfano la condizione $x^{2} < 4$ .

Attenzione

I simboli $\in$ e $\subseteq$ hanno significati diversi: $\in$ lega un elemento a un insieme, $\subseteq$ lega due insiemi. Per $A = {1, 2}$ le scritture corrette sono $1 \in A$ e ${1} \subseteq A$ ; le scritture $1 \subseteq A$ e ${1} \in A$ sono false, perché ${1}$ non è uno dei due elementi di $A$ e $1$ non è un insieme.

Operazioni tra insiemi

Unione, intersezione, differenza, complementare

Per $A$ e $B$ sottoinsiemi di un insieme ambiente $E$ :

A \cup B = {x : x \in A oppure x \in B}, A \cap B = {x : x \in A e x \in B}, A ∖ B = {x : x \in A e x \in / B}, A^{c} = E ∖ A .

L’oppure dell’unione non è esclusivo: gli elementi comuni ad $A$ e $B$ appartengono all’unione. Se $A \cap B = \emptyset$ , gli insiemi si dicono disgiunti. Il complementare dipende dall’ambiente $E$ ; per i sottoinsiemi di $R$ , salvo indicazione contraria, l’ambiente è $R$ . Le operazioni traducono i connettivi logici, perciò l’insieme delle soluzioni di un sistema di disequazioni è l’intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole disequazioni, e l’insieme delle soluzioni di una disequazione risolta per casi è l’unione delle soluzioni dei casi.

Esempio

$A = {1, 2, 3, 4}$ e $B = {3, 4, 5}$ , con ambiente $E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ :

A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}, A \cap B = {3, 4}, A ∖ B = {1, 2}, B ∖ A = {5}, A^{c} = {5, 6} .

Prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano di $A$ e $B$ è l’insieme delle coppie ordinate

A \times B = {(a, b) : a \in A, b \in B} .

Nelle coppie l’ordine conta, quindi in generale $A \times B \neq = B \times A$ : per $A = {1, 2}$ e $B = {0}$ si ha $A \times B = {(1, 0), (2, 0)}$ e $B \times A = {(0, 1), (0, 2)}$ . L’insieme $R^{2} = R \times R$ è il piano cartesiano: i grafici delle funzioni sono suoi sottoinsiemi, perciò il prodotto cartesiano è l’ambiente di tutto il capitolo sulle funzioni.

Gli insiemi numerici

Gli insiemi numerici N, Z, Q, R

N = {0, 1, 2, 3, \dots}, Z = {\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots}, Q = {\frac{m}{n} : m \in Z, n \in N, n \geq 1} .

$R$ è l’insieme dei numeri reali, rappresentabili come allineamenti decimali finiti o infiniti; i razionali sono esattamente quelli con sviluppo decimale finito o periodico. Valgono le inclusioni strette $N \subset Z \subset Q \subset R$ . Ogni ampliamento rende risolubili equazioni che prima non lo erano: $x + 3 = 1$ non ha soluzione in $N$ e la ha in $Z$ ; $2 x = 1$ non ha soluzione in $Z$ e la ha in $Q$ ; $x^{2} = 2$ non ha soluzione in $Q$ , come mostra il teorema sull’irrazionalità di $2$ , e la ha in $R$ . I numeri reali non razionali si dicono irrazionali. $Q$ è denso in $R$ : tra due numeri reali distinti esiste sempre un numero razionale, e anche un numero irrazionale.

Irrazionalità di radice di 2

Non esiste alcun numero razionale $x$ tale che $x^{2} = 2$ : il numero $2$ è irrazionale. Il teorema mostra che $Q$ ha delle lacune, dato che già la geometria elementare produce la lunghezza $2$ come diagonale del quadrato di lato $1$ . Lo stesso schema per assurdo dimostra l’irrazionalità di $3$ , $5$ , $6$ e in generale di $p$ con $p$ primo.

Dimostrazione

Per assurdo esista un razionale con quadrato $2$ e lo si scriva come frazione ridotta ai minimi termini: $x = \frac{m}{n}$ con $m$ e $n$ interi privi di divisori comuni, $n \geq 1$ . Da $\frac{m ^{2}}{n ^{2}} = 2$ segue $m^{2} = 2 n^{2}$ , quindi $m^{2}$ è pari. Il quadrato di un numero dispari è dispari, perciò $m$ è pari: $m = 2 k$ con $k$ intero. Sostituendo si ottiene $4 k^{2} = 2 n^{2}$ , cioè $n^{2} = 2 k^{2}$ , quindi anche $n^{2}$ è pari e, per lo stesso motivo, $n$ è pari. Allora $m$ e $n$ hanno il divisore comune $2$ , il che contraddice l’ipotesi che la frazione sia ridotta ai minimi termini. L’assurdo mostra che un tale razionale non esiste.

Intervalli

Intervalli e loro notazione

Un intervallo è un sottoinsieme $I \subseteq R$ con questa proprietà: presi due punti di $I$ , ogni numero reale compreso tra essi appartiene a $I$ . Per $a < b$ reali:

(a, b) = {x : a < x < b}, [a, b] = {x : a \leq x \leq b}, [a, b) = {x : a \leq x < b}, (a, b] = {x : a < x \leq b}, (a, + \infty) = {x : x > a}, (- \infty, b] = {x : x \leq b}, (- \infty, + \infty) = R .

La parentesi tonda esclude l’estremo, la quadra lo include; accanto a $+ \infty$ e $- \infty$ , che non sono numeri reali, la parentesi è sempre tonda. $[a, b]$ si dice intervallo chiuso e limitato, $(a, b)$ intervallo aperto. I domini delle funzioni elementari e gli insiemi delle soluzioni delle disequazioni sono intervalli o unioni di intervalli, quindi questa notazione compare in ogni studio di funzione.

Operazioni tra intervalli

$A = [0, 4)$ e $B = (2, 6]$ :

A \cup B = [0, 6], A \cap B = (2, 4), A ∖ B = [0, 2], A^{c} = (- \infty, 0) \cup [4, + \infty) .

Il punto $2$ appartiene ad $A ∖ B$ perché $2 \in A$ e $2 \in / B$ , dato che $B$ esclude il proprio estremo sinistro.

Maggioranti, minoranti, massimo e minimo

Maggiorante, minorante, insieme limitato

Sia $A \subseteq R$ non vuoto. Un numero $M \in R$ è un maggiorante di $A$ se $a \leq M$ per ogni $a \in A$ ; un numero $m \in R$ è un minorante se $m \leq a$ per ogni $a \in A$ . $A$ si dice limitato superiormente se ha almeno un maggiorante, limitato inferiormente se ha almeno un minorante, limitato se è limitato sia superiormente sia inferiormente. Un maggiorante può non appartenere all’insieme: i maggioranti di $(0, 1)$ sono tutti i numeri di $[1, + \infty)$ , e nessuno di essi sta in $(0, 1)$ . Se $M$ è un maggiorante, ogni numero più grande di $M$ lo è, quindi l’informazione utile è il più piccolo dei maggioranti: questo numero, quando esiste, è l’estremo superiore.

Massimo e minimo

Il massimo di $A$ è un maggiorante che appartiene all’insieme:

M = max A ⟺ {M \in A a \leq M per ogni a \in A

Il minimo è definito in modo analogo con i minoranti. Il massimo, quando esiste, è unico: se $M_{1}$ e $M_{2}$ sono entrambi massimi, allora $M_{1} \leq M_{2}$ perché $M_{2}$ è un maggiorante e $M_{1} \in A$ , e $M_{2} \leq M_{1}$ per lo stesso motivo, quindi $M_{1} = M_{2}$ .

Esempio

$[0, 1]$ ha minimo $0$ e massimo $1$ . L’intervallo $(0, 1)$ non ha massimo: infatti per ogni $x \in (0, 1)$ il punto $\frac{x + 1}{2}$ appartiene a $(0, 1)$ ed è maggiore di $x$ , quindi nessun elemento dell’insieme è un maggiorante. Per lo stesso motivo $(0, 1)$ non ha minimo.

Estremo superiore e inferiore

Sia $A \subseteq R$ non vuoto. L’estremo superiore di $A$ , indicato con $sup A$ , è il minimo dell’insieme dei maggioranti di $A$ ; l’estremo inferiore $in f A$ è il massimo dell’insieme dei minoranti. Se $A$ non è limitato superiormente si pone $sup A = + \infty$ ; se non è limitato inferiormente, $in f A = - \infty$ . Se il massimo esiste, allora $sup A = max A$ ; viceversa, se $sup A \in A$ , allora $sup A$ è il massimo di $A$ . L’estremo superiore esiste anche quando il massimo non esiste: $sup (0, 1) = 1$ e $in f (0, 1) = 0$ , e nessuno dei due appartiene all’intervallo. Per questo sup e inf sono gli strumenti con cui si descrive la limitatezza di un insieme e, nei capitoli successivi, di una funzione o di una successione.

Caratterizzazione di sup e inf con epsilon

Siano $A \subseteq R$ non vuoto e $L \in R$ . Allora $L = sup A$ se e solo se

{a \leq L per ogni a \in A per ogni ε > 0 esiste a \in A tale che a > L - ε

Analogamente, $ℓ = in f A$ se e solo se $ℓ \leq a$ per ogni $a \in A$ e per ogni $ε > 0$ esiste $a \in A$ tale che $a < ℓ + ε$ . La prima condizione dice che $L$ è un maggiorante; la seconda che, scesi sotto $L$ di una qualunque quantità $ε$ , l’insieme contiene un elemento oltre $L - ε$ . Nelle verifiche la seconda condizione diventa una disequazione nella variabile che descrive gli elementi di $A$ .

Dimostrazione

La seconda condizione afferma che, per ogni $ε > 0$ , il numero $L - ε$ non è un maggiorante di $A$ . Poiché ogni numero minore di $L$ si scrive come $L - ε$ con un opportuno $ε > 0$ , le due condizioni insieme equivalgono a: $L$ è un maggiorante di $A$ e nessun numero minore di $L$ lo è. Questo significa che $L$ è il minimo dei maggioranti, cioè $L = sup A$ . Per l’estremo inferiore si ragiona allo stesso modo con i minoranti.

Osservazione

Per gli insiemi non limitati la caratterizzazione prende una forma diversa: $sup A = + \infty$ equivale a dire che per ogni $M > 0$ esiste $a \in A$ con $a > M$ . In particolare $sup N = + \infty$ , perché per ogni reale $M$ esiste un naturale maggiore di $M$ (proprietà archimedea dei numeri reali). Questo fatto interviene in quasi tutte le verifiche con $ε$ , per garantire l’esistenza di un naturale $n > \frac{1}{ε}$ .

Verifica con la caratterizzazione

$A = {\frac{1}{n} : n \in N, n \geq 1}$ . L’estremo superiore è $1$ : infatti $1 \in A$ e $\frac{1}{n} \leq 1$ per ogni $n \geq 1$ , quindi $1$ è il massimo, e il massimo coincide con l’estremo superiore. L’estremo inferiore è $0$ : poiché $\frac{1}{n} > 0$ per ogni $n$ , il numero $0$ è un minorante; fissato $ε > 0$ , per la proprietà archimedea esiste un naturale $n > \frac{1}{ε}$ , e per questo $n$ si ha $\frac{1}{n} < ε$ . Le due condizioni della caratterizzazione sono soddisfatte, perciò $in f A = 0$ . Poiché $0 \in / A$ , l’insieme non ha minimo.

La completezza di R

Completezza di R

Ogni sottoinsieme di $R$ non vuoto e limitato superiormente ammette estremo superiore in $R$ ; ogni sottoinsieme non vuoto e limitato inferiormente ammette estremo inferiore. Questa proprietà si chiama completezza e si assume come assioma dei numeri reali. Distingue $R$ da $Q$ ed è l’ipotesi da cui dipendono i teoremi di esistenza dell’analisi: la dimostrazione del teorema degli zeri, nel capitolo sui limiti e sulla continuità, costruisce lo zero proprio come estremo superiore di un insieme.

Osservazione

In $Q$ la completezza non vale. Sia $A = {x \in Q : x \geq 0, x^{2} < 2}$ : è non vuoto, perché $1 \in A$ , ed è limitato superiormente, perché da $x \geq 2$ segue $x^{2} \geq 4 > 2$ , quindi $2$ è un maggiorante. In $R$ il suo estremo superiore è $2$ , che non è razionale. Tra i soli numeri razionali, invece, $A$ non ha estremo superiore. Ogni maggiorante razionale $L$ soddisfa $L > 2$ : se fosse $L < 2$ , per la densità di $Q$ esisterebbe un razionale $q$ con $L < q < 2$ , che apparterrebbe ad $A$ (è positivo, perché $L \geq 1$ , e il suo quadrato è minore di $2$ ) e supererebbe $L$ ; l’uguaglianza $L = 2$ è esclusa perché $2 \in / Q$ . Di nuovo per densità esiste allora un razionale $q^{'}$ con $2 < q^{'} < L$ , e $q^{'}$ è un maggiorante di $A$ più piccolo di $L$ , poiché ogni $x \in A$ soddisfa $x < 2 < q^{'}$ . Quindi nessun maggiorante razionale è il minimo dei maggioranti razionali e, dentro $Q$ , l’insieme $A$ non ha estremo superiore.

Il principio di induzione

Principio di induzione

Sia $P (n)$ una proposizione che dipende da un numero naturale $n$ e sia $n_{0} \in N$ . Se

{P (n_{0}) \overset{e}{ˋ} vera per ogni n \geq n_{0}, se P (n) \overset{e}{ˋ} vera allora P (n + 1) \overset{e}{ˋ} vera

allora $P (n)$ è vera per ogni $n \geq n_{0}$ . La prima condizione si chiama base dell’induzione, la seconda passo induttivo; nel passo, la proposizione $P (n)$ che si suppone vera si chiama ipotesi induttiva. Il principio si assume come proprietà dell’insieme $N$ . Serve per dimostrare identità, disuguaglianze e proprietà di divisibilità che dipendono da un indice naturale, e ogni dimostrazione per induzione si organizza negli stessi due punti: verifica della base e verifica del passo. Le prime applicazioni sono la formula della somma dei primi $n$ naturali e la disuguaglianza di Bernoulli.

Attenzione

Il passo induttivo da solo non basta: senza la base non si conclude nulla. Per la proposizione $P (n)$ : " $n \geq n + 1$ " il passo è verificato, perché sommando $1$ ai due membri da $n \geq n + 1$ segue $n + 1 \geq n + 2$ ; la base è falsa per ogni scelta di $n_{0}$ , e infatti nessuna $P (n)$ è vera.

La somma dei primi n naturali

Somma dei primi n naturali

Per ogni $n \geq 1$ :

1 + 2 + \dots + n = k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2} .

È il primo esempio di dimostrazione per induzione e la formula ricompare nel calcolo di somme e nel capitolo sulle serie. Per esempio, la somma dei primi $100$ naturali vale $\frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$ .

Dimostrazione

Base ( $n = 1$ ): il primo membro vale $1$ e il secondo $\frac{1 \cdot 2}{2} = 1$ , quindi $P (1)$ è vera. Passo: sia vera $P (n)$ , cioè $k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Allora

k = 1 \sum n + 1 k = k = 1 \sum n k + (n + 1) = \frac{n ( n + 1 )}{2} + (n + 1) = (n + 1) (\frac{n}{2} + 1) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2},

che è la formula con $n + 1$ al posto di $n$ . Quindi $P (n)$ implica $P (n + 1)$ e, per il principio di induzione, la formula vale per ogni $n \geq 1$ .

La disuguaglianza di Bernoulli

Disuguaglianza di Bernoulli

Per ogni numero reale $x \geq - 1$ e ogni $n \in N$ :

(1 + x)^{n} \geq 1 + n x .

La disuguaglianza stima dal basso una potenza con un’espressione di primo grado in $n$ , molto più semplice da controllare. Con $x = 1$ dà $2^{n} \geq 1 + n$ per ogni $n$ . Si usa nello studio della successione geometrica e nella costruzione del numero $e$ ; si rimanda al capitolo sulle successioni.

Dimostrazione

Si procede per induzione su $n$ , con $x \geq - 1$ fissato. Base ( $n = 0$ ): $(1 + x)^{0} = 1$ e $1 + 0 \cdot x = 1$ , quindi la disuguaglianza vale con l’uguale. Passo: sia $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$ . Poiché $x \geq - 1$ , il fattore $1 + x$ è non negativo, quindi moltiplicando i due membri dell’ipotesi induttiva per $1 + x$ il verso non cambia:

(1 + x)^{n + 1} = (1 + x)^{n} (1 + x) \geq (1 + n x) (1 + x) = 1 + (n + 1) x + n x^{2} \geq 1 + (n + 1) x,

dato che $n x^{2} \geq 0$ . Per il principio di induzione la disuguaglianza vale per ogni $n$ . L’ipotesi $x \geq - 1$ è usata nel passo: garantisce che la moltiplicazione per $1 + x$ conservi il verso della disuguaglianza.

Il fattoriale

Fattoriale

Per $n \geq 1$ il fattoriale di $n$ è il prodotto dei naturali da $1$ a $n$ :

n! = n \cdot (n - 1) \dots 2 \cdot 1, 0! = 1.

Vale la formula ricorsiva $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$ , e la scelta $0! = 1$ la rende valida anche per $n = 0$ , oltre a dare senso alle formule dei coefficienti binomiali. I primi valori sono $1! = 1$ , $2! = 2$ , $3! = 6$ , $4! = 24$ , $5! = 120$ . Il fattoriale conta i modi di ordinare $n$ oggetti distinti e cresce molto rapidamente: $10! = 3628800$ . Nei calcoli i fattoriali si semplificano con la formula ricorsiva, per esempio $\frac{10 !}{8 !} = 10 \cdot 9 = 90$ .

La teoria continua con 11 altri paragrafi (i coefficienti binomiali, il binomio di newton, funzioni dominio e immagine…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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