Teoria

Calcolo differenziale e Taylor

La derivata come limite del rapporto incrementale, le regole di calcolo, i teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange con le loro conseguenze, il teorema di de l'Hôpital e la formula di Taylor.

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La derivata
Derivabilità e continuità
Regole di derivazione
Massimi, minimi e teoremi del valore medio

La derivata

Derivata e rapporto incrementale

Siano $f : A \to R$ e $x_{0}$ un punto interno ad $A$ . Il rapporto incrementale di $f$ in $x_{0}$ relativo all’incremento $h \neq = 0$ è

\frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h},

la pendenza della retta che passa per i punti $(x_{0}, f (x_{0}))$ e $(x_{0} + h, f (x_{0} + h))$ del grafico. $f$ è derivabile in $x_{0}$ se esiste finito il limite

f^{'} (x_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}};

le due scritture coincidono con la sostituzione $x = x_{0} + h$ . Se $f$ è derivabile in ogni punto di un insieme, la funzione $x \mapsto f^{'} (x)$ è la funzione derivata. La derivata misura la rapidità con cui $f$ varia vicino a $x_{0}$ ; con il suo segno si studiano monotonia, massimi e minimi, come mostrano i teoremi di questo capitolo.

Derivata di x² con la definizione

h \to 0 lim \frac{( x + h ) ^{2} - x ^{2}}{h} = h \to 0 lim \frac{2 x h + h ^{2}}{h} = h \to 0 lim (2 x + h) = 2 x

Il limite esiste finito per ogni $x \in R$ , quindi $f (x) = x^{2}$ è derivabile su $R$ e $f^{'} (x) = 2 x$ .

Derivate laterali

La derivata destra e la derivata sinistra di $f$ in $x_{0}$ sono i limiti laterali del rapporto incrementale:

f_{+}^{'} (x_{0}) = h \to 0^{+} lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}, f_{-}^{'} (x_{0}) = h \to 0^{-} lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} .

$f$ è derivabile in $x_{0}$ se e solo se le due derivate laterali esistono finite e coincidono. Si usano nei punti di raccordo delle funzioni definite a tratti e nei punti in cui un valore assoluto cambia espressione.

Retta tangente al grafico

Se $f$ è derivabile in $x_{0}$ , la retta tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_{0}, f (x_{0}))$ è

y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .

Per $h \to 0$ il punto $(x_{0} + h, f (x_{0} + h))$ si avvicina a $(x_{0}, f (x_{0}))$ e la retta secante per i due punti tende alla tangente; poiché la pendenza della secante è il rapporto incrementale, la pendenza della tangente è $f^{'} (x_{0})$ . Questo è il significato geometrico della derivata.

y = x²: nel punto (1, 1) la retta tangente è y = 2x − 1, perché f′(1) = 2

Derivabilità e continuità

Derivabile implica continua

Se $f$ è derivabile in $x_{0}$ , allora $f$ è continua in $x_{0}$ . Per questo lo studio della derivabilità comincia dalla continuità: in un punto in cui $f$ non è continua, $f$ non è derivabile.

Dimostrazione

Per $x \neq = x_{0}$ vale l’identità

f (x) - f (x_{0}) = \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} \cdot (x - x_{0}) .

Per $x \to x_{0}$ il primo fattore tende a $f^{'} (x_{0})$ e il secondo a $0$ , quindi per il limite del prodotto $f (x) - f (x_{0}) \to f^{'} (x_{0}) \cdot 0 = 0$ , cioè $f (x) \to f (x_{0})$ , che è la definizione di continuità in $x_{0}$ .

Attenzione

L’implicazione non si inverte: $f (x) = ∣ x ∣$ è continua in $0$ ma non è derivabile in $0$ . Il rapporto incrementale $\frac{∣ h ∣}{h}$ vale $1$ per $h > 0$ e $- 1$ per $h < 0$ , quindi le derivate laterali esistono e sono diverse.

Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale

Sia $f$ continua in $x_{0}$ ma non derivabile in $x_{0}$ . Il punto si classifica con i limiti laterali del rapporto incrementale.

Punto angoloso: le derivate laterali esistono, sono diverse e almeno una è finita. Esempio $f (x) = ∣ x ∣$ in $0$ , con derivate laterali $- 1$ e $1$ .
Cuspide: il rapporto incrementale tende a $+ \infty$ da una parte e a $- \infty$ dall’altra. Esempio $f (x) = ∣ x ∣$ in $0$ : il rapporto vale $\frac{1}{h}$ per $h > 0$ e $- \frac{1}{- h}$ per $h < 0$ .
Flesso a tangente verticale: il rapporto incrementale tende a $+ \infty$ oppure a $- \infty$ da entrambe le parti. Esempio $f (x) = 3 x$ in $0$ , dove il rapporto $\frac{3 h}{h} = \frac{1}{3 h ^{2}}$ tende a $+ \infty$ ; la tangente è la retta verticale $x = x_{0}$ .

y = |x|: punto angoloso in 0

y = √|x|: cuspide in 0

y = ∛x: flesso a tangente verticale in 0

Regole di derivazione

Derivata di somma, prodotto e quoziente

Se $f$ e $g$ sono derivabili in $x$ , allora, con $c \in R$ :

(f + g)^{'} (x) = f^{'} (x) + g^{'} (x), (c f)^{'} (x) = c f^{'} (x), (f g)^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x), (\frac{f}{g})^{'} (x) = \frac{f ^{'} ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ^{'} ( x )}{g ( x ) ^{2}} se g (x) \neq = 0.

Con queste regole e con la tabella delle derivate elementari si deriva ogni funzione costruita con le quattro operazioni, senza tornare alla definizione.

Dimostrazione

Per il prodotto si somma e si sottrae $f (x) g (x + h)$ al numeratore del rapporto incrementale:

\frac{f ( x + h ) g ( x + h ) - f ( x ) g ( x )}{h} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} g (x + h) + f (x) \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h} .

Per $h \to 0$ il rapporto incrementale di $f$ tende a $f^{'} (x)$ e quello di $g$ a $g^{'} (x)$ ; inoltre $g$ è derivabile in $x$ , quindi continua in $x$ , perciò $g (x + h) \to g (x)$ . Per l’algebra dei limiti l’espressione tende a $f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ . La regola della somma si dimostra separando il rapporto incrementale nei due rapporti di $f$ e di $g$ ; quella del quoziente si ottiene applicando la regola del prodotto a $f \cdot \frac{1}{g}$ , dove la derivata di $\frac{1}{g}$ si calcola con la regola della funzione composta.

Derivata della funzione composta

Se $g$ è derivabile in $x$ e $f$ è derivabile in $g (x)$ , allora $f \circ g$ è derivabile in $x$ e

(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) .

Si deriva la funzione esterna lasciando intatto l’argomento, poi si moltiplica per la derivata dell’argomento: la derivata di $e^{x^{2}}$ è $e^{x^{2}} \cdot 2 x$ . Con composizioni ripetute la regola si applica a catena, dall’esterno verso l’interno.

Derivata della funzione inversa

Sia $f$ invertibile e derivabile in $x_{0}$ con $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ , con inversa $f^{- 1}$ continua in $y_{0} = f (x_{0})$ . Allora $f^{- 1}$ è derivabile in $y_{0}$ e

(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} .

Con questo teorema si derivano le inverse delle funzioni elementari. Per $f (x) = tan x$ e $y = tan x$ si ottiene

(arctan)^{'} (y) = \frac{1}{1 + tan ^{2} x} = \frac{1}{1 + y ^{2}} .

Derivate delle funzioni elementari

f (x) x^{α} e^{x} a^{x} ln x sin x f^{'} (x) α x^{α - 1} e^{x} a^{x} ln a \frac{1}{x} cos x f (x) cos x tan x arcsin x arccos x arctan x f^{'} (x) - sin x \frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x \frac{1}{1 - x ^{2}} - \frac{1}{1 - x ^{2}} \frac{1}{1 + x ^{2}}

La derivata di una funzione costante è nulla, perché il rapporto incrementale è identicamente nullo. Ogni formula vale nei punti interni al dominio. Le derivate di esponenziale, logaritmo e seno si ottengono dalla definizione con i limiti notevoli; per esempio

\frac{e ^{x + h} - e ^{x}}{h} = e^{x} \cdot \frac{e ^{h} - 1}{h} \to e^{x} .

Le derivate delle funzioni inverse seguono dal teorema precedente.

Massimi, minimi e teoremi del valore medio

Massimo e minimo locale

$x_{0} \in A$ è un punto di massimo locale per $f : A \to R$ se esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ tale che $f (x) \leq f (x_{0})$ per ogni $x \in U \cap A$ ; è un punto di minimo locale se vale la disuguaglianza opposta. Un punto di massimo o di minimo assoluto, cioè in cui la disuguaglianza vale su tutto $A$ , è anche locale. La ricerca degli estremi locali è uno degli scopi del calcolo differenziale; il teorema di Fermat dice dove cercarli.

Teorema di Fermat

Se $x_{0}$ è un punto di massimo o di minimo locale per $f$ , interno al dominio, e $f$ è derivabile in $x_{0}$ , allora $f^{'} (x_{0}) = 0$ . I punti in cui la derivata si annulla si chiamano punti stazionari. Il teorema riduce la ricerca degli estremi su un intervallo a un elenco di candidati: i punti stazionari, i punti di non derivabilità e gli estremi dell’intervallo.

Dimostrazione

Sia $x_{0}$ un punto di massimo locale; per il minimo si ragiona con le disuguaglianze opposte. Poiché $x_{0}$ è interno al dominio, per $∣ h ∣$ abbastanza piccolo il punto $x_{0} + h$ appartiene al dominio e vale $f (x_{0} + h) - f (x_{0}) \leq 0$ . Per $h > 0$ il rapporto incrementale ha numeratore $\leq 0$ e denominatore $> 0$ , quindi è $\leq 0$ ; poiché il limite conserva le disuguaglianze larghe, per $h \to 0^{+}$ si ottiene $f^{'} (x_{0}) \leq 0$ . Per $h < 0$ il rapporto ha numeratore $\leq 0$ e denominatore $< 0$ , quindi è $\geq 0$ , e per $h \to 0^{-}$ si ottiene $f^{'} (x_{0}) \geq 0$ . Dalle due disuguaglianze segue $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

Attenzione

La condizione $f^{'} (x_{0}) = 0$ è necessaria per un estremo locale interno, non sufficiente: $f (x) = x^{3}$ ha derivata nulla in $0$ e in $0$ non ha né massimo né minimo locale, perché è strettamente crescente. Serve inoltre che $x_{0}$ sia interno: $f (x) = x$ su $[0, 1]$ ha massimo in $x = 1$ con $f^{'} (1) = 1 \neq = 0$ .

Teorema di Rolle

Sia $f$ continua in $[a, b]$ , derivabile in $(a, b)$ , con $f (a) = f (b)$ . Allora esiste $c \in (a, b)$ tale che $f^{'} (c) = 0$ . Tra due punti del grafico alla stessa quota esiste quindi un punto a tangente orizzontale. Dal teorema di Rolle si deduce il teorema di Lagrange.

Dimostrazione

Poiché $f$ è continua in $[a, b]$ , per il teorema di Weierstrass $f$ assume su $[a, b]$ un valore massimo $M$ e un valore minimo $m$ .

Se $M = m$ , la funzione è costante su $[a, b]$ , quindi $f^{'} (c) = 0$ per ogni $c \in (a, b)$ .
Se $M > m$ , almeno uno dei due valori è diverso da $f (a) = f (b)$ , quindi è assunto in un punto $c$ interno all’intervallo. Il punto $c$ è un estremo locale interno e $f$ è derivabile in $c$ , perciò per il teorema di Fermat $f^{'} (c) = 0$ .

Teorema di Lagrange

Sia $f$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $(a, b)$ . Allora esiste $c \in (a, b)$ tale che

f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} .

Il rapporto a destra è la pendenza della retta per gli estremi del grafico: esiste un punto in cui la tangente è parallela a quella retta. Dal teorema seguono il legame tra segno della derivata e monotonia e le stime del tipo $∣ f (b) - f (a) ∣ \leq K ∣ b - a ∣$ quando $∣ f^{'} ∣ \leq K$ sull’intervallo.

Dimostrazione

Si definisce la funzione ausiliaria

g (x) = f (x) - f (a) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} (x - a),

la differenza tra $f$ e la retta per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ . $g$ è continua in $[a, b]$ e derivabile in $(a, b)$ , perché somma di $f$ e di un polinomio di primo grado; inoltre $g (a) = 0$ e $g (b) = f (b) - f (a) - (f (b) - f (a)) = 0$ . Le ipotesi del teorema di Rolle sono quindi soddisfatte ed esiste $c \in (a, b)$ con $g^{'} (c) = 0$ . Poiché

g^{'} (x) = f^{'} (x) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a},

da $g^{'} (c) = 0$ segue $f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ .

Teorema di Cauchy

Siano $f$ e $g$ continue in $[a, b]$ e derivabili in $(a, b)$ . Allora esiste $c \in (a, b)$ tale che

(f (b) - f (a)) g^{'} (c) = (g (b) - g (a)) f^{'} (c) .

Se inoltre $g^{'} (x) \neq = 0$ in $(a, b)$ , allora $g (b) \neq = g (a)$ per il teorema di Rolle e l’uguaglianza si scrive

\frac{f ^{'} ( c )}{g ^{'} ( c )} = \frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} .

Per $g (x) = x$ si riottiene il teorema di Lagrange. La dimostrazione applica il teorema di Rolle alla funzione $h (x) = (f (b) - f (a)) g (x) - (g (b) - g (a)) f (x)$ . Il teorema di Cauchy è il passo con cui si dimostra il teorema di de l’Hôpital.

La teoria continua con 4 altri paragrafi (conseguenze del teorema di lagrange, il teorema di de lhôpital, derivate successive…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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