Esercizi svolti · Scheda 3

Integrali per confronto asintotico all'infinito

Teoria usata: Criterio del confronto asintotico Integrali campione delle potenze Criterio del confronto Ordine di infinitesimo e di infinito

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Esercizio 1

Stabilire il carattere di

\int_{1}^{+ \infty} \frac{x + 3}{x ^{3} + x + 1} d x .

x \to + \infty lim \frac{\frac{x + 3}{x ^{3} + x + 1}}{\frac{1}{x ^{2}}} = x \to + \infty lim \frac{x ^{3} + 3 x ^{2}}{x ^{3} + x + 1} = 1

\frac{x + 3}{x ^{3} + x + 1} \sim \frac{1}{x ^{2}} (x \to + \infty), l’integrale converge

L’integranda è positiva su $[1, + \infty)$ , perché numeratore e denominatore sono positivi per $x \geq 1$ , quindi i criteri di confronto si applicano. Numeratore e denominatore sono polinomi, perciò all’infinito contano i termini di grado massimo e il candidato campione è $\frac{x}{x ^{3}} = \frac{1}{x ^{2}}$ . Il limite del rapporto tra l’integranda e $\frac{1}{x ^{2}}$ vale $1$ , quindi le due funzioni sono asintotiche. L’ordine di infinitesimo è $2 > 1$ , il campione converge, perciò per il confronto asintotico l’integrale converge.

Esercizio 2

Stabilire il carattere di

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2} + 1} .

x \to + \infty lim \frac{\frac{1}{x ^{2} + 1}}{\frac{1}{x}} = x \to + \infty lim \frac{x}{x ^{2} + 1} = x \to + \infty lim \frac{1}{1 + \frac{1}{x ^{2}}} = 1

\frac{1}{x ^{2} + 1} \sim \frac{1}{x} (x \to + \infty), l’integrale diverge

L’integranda è positiva. Sotto radice il termine dominante è $x^{2}$ , quindi il candidato campione è $\frac{1}{x}$ . Per calcolare il limite del rapporto si porta $x = x^{2}$ dentro la radice (lecito perché $x > 0$ ), e il rapporto diventa il reciproco di $1 + \frac{1}{x ^{2}}$ , che tende a $1$ . L’integranda è dunque asintotica a $\frac{1}{x}$ , il campione con $α = 1$ diverge, perciò l’integrale diverge per confronto asintotico.

Esercizio 3

Stabilire il carattere di

\int_{1}^{+ \infty} x^{2} e^{- x} d x .

x \to + \infty lim \frac{x ^{2} e ^{- x}}{\frac{1}{x ^{2}}} = x \to + \infty lim \frac{x ^{4}}{e ^{x}} = 0

x^{2} e^{- x} < \frac{1}{x ^{2}} definitivamente, l’integrale converge

L’integranda è positiva. L’esponenziale $e^{- x}$ tende a $0$ più in fretta di ogni potenza, quindi nessuna potenza è asintotica all’integranda e si usa la forma del confronto con limite $L = 0$ . Il rapporto tra l’integranda e il campione $\frac{1}{x ^{2}}$ vale $\frac{x ^{4}}{e ^{x}}$ e tende a $0$ per la gerarchia degli infiniti (capitolo sui limiti). Poiché il limite è $0$ e l’integrale di $\frac{1}{x ^{2}}$ converge, l’integranda è definitivamente minore del campione e, per il criterio del confronto, l’integrale converge.